Berechnung Lebesgue-Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Sa 02.02.2008 | | Autor: | DerVogel |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\{(x,y)\in\IR^2 | 0\le y\le4-x^2 \mbox{ und} -2\le x \le 2 \} [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] das Lebesgue-Maß im [mm] \IR^2. [/mm]
Man berechne [mm] \integral_{A}^{}{((x+y)y) d\lambda_2} [/mm] und begründe die Rechenschritte. |
Hallo,
und zwar habe ich ein Problem. Ich habe das Integral berechnet, zuerst mit Hilfe des Riemann-Integrals und ein Ergebnis von [mm] \bruch{32}{3}=10,6 [/mm] erhalten. Anschaulich wäre das die Fläche unter dem Graph [mm] -x^{2}+4.
[/mm]
Aber dann habe ich das Integral mit Hilfe des Satzes von Fubini berechnet und ein Ergebnis erhalten, was mir garnicht gefällt: [mm] \bruch{256}{3} [/mm] = 85,3.
Nun meine Frage: Welches Ergebnis müsste rauskommen? Welches von beiden ist richtig? Oder womöglich garkeins?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Sa 02.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> Man berechne [mm]\integral_{A}^{}{((x+y)y) d\lambda_2}[/mm] und
> begründe die Rechenschritte.
> Hallo,
> und zwar habe ich ein Problem. Ich habe das Integral
> berechnet, zuerst mit Hilfe des Riemann-Integrals und ein
> Ergebnis von [mm]\bruch{32}{3}=10,6[/mm] erhalten. Anschaulich wäre
> das die Fläche unter dem Graph [mm]-x^{2}+4.[/mm]
Diese Anschaung ist ziemlich falsch - sie wäre richtig für den Integranten [m]1[/m] und nicht den, der da steht: [m](x+y)*y[/m]. Anschaulich ist das Integral das orientierte Volumen unter dem Graphen der Funktion [m](x,y)\mapsto (x+y)*y[/m] in den gegebenen Grenzen. Das mehrdimensionale Riemanintegral stimmt übrigens hier mit dem Lebesque-Integral überein.
> Aber dann habe ich das Integral mit Hilfe des Satzes von
> Fubini berechnet und ein Ergebnis erhalten, was mir
> garnicht gefällt: [mm]\bruch{256}{3}[/mm] = 85,3.
Wieso nicht? Gib mal die Rechnung an, die hier scheint mir vernünftiger.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Sa 02.02.2008 | | Autor: | DerVogel |
Erstmal vielen dank.
Ich habe gerechnet:
[mm] \integral_{A}^{}{xy+y^2 d\lambda_2} [/mm] = [mm] \integral_{x=-2}^{2}{(\integral_{y=0}^{4}{xy+y^2 dy)}dx} [/mm] = [mm] \integral_{-2}^{2}{8x+\bruch{64}{3} dx}=[4x^2+\bruch{64x}{3}]_{-2}^2 [/mm] = [mm] \bruch{256}{3}
[/mm]
Wenn etwas falsch ist, dann ist es denke ich das erste Gleichheitszeichen. Denn ich hab ja "nur" die Grenzen am Integral abgeändert, aber ich bin mir überhaupt nicht sicher.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 02.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\integral_{A}^{}{xy+y^2 d\lambda_2}[/mm] =
> [mm]\integral_{x=-2}^{2}{(\integral_{y=0}^{4}{xy+y^2 dy)}dx}[/mm] =
Ja, es muss [m]\int_0^{4-x^2}...[/m] heissen, also anstatt 4, [m]4-x^2[/m] in der oberene Grenze des Integrals einsetzen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Sa 02.02.2008 | | Autor: | DerVogel |
So, nun erhalte ich:
[mm] \integral_{x=-2}^{2}{(\integral_{y=0}^{4-x^2}{xy+y^2 dy)}dx} [/mm] =
[mm] \integral_{x=-2}^{2}{-\bruch{1}{6}((x^2-4)^2*(2x^2-3x-8))dx} [/mm] =
[mm] \bruch{4096}{105} \sim [/mm] 39,0095.
Also noch ein drittes Ergebnis...
wobei [mm] \integral_{y=0}^{4-x^2}{xy+y^2 dy} [/mm] = [mm] [\bruch{1}{2}xy^2+\bruch{1}{3}y^3]_0^{4-x^2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}((x^2-4)^2*(2x^2-3x-8))
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Mo 04.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> So, nun erhalte ich:
>
> [mm]\integral_{x=-2}^{2}{(\integral_{y=0}^{4-x^2}{xy+y^2 dy)}dx}[/mm]
> =
>
> [mm]\integral_{x=-2}^{2}{-\bruch{1}{6}((x^2-4)^2*(2x^2-3x-8))dx}[/mm]
> =
>
> [mm]\bruch{4096}{105} \sim[/mm] 39,0095.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das bekomme ich auch auch heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Mo 04.02.2008 | | Autor: | DerVogel |
Vielen Dank :)
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