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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:00 Do 20.12.2007 | | Autor: | anmu |
| Aufgabe | Lösen Sie mithilfe des Lagrange-Verfahrens:
[mm]f(x_1, x_2)[/mm]= [mm](10*\wurzel{x_1}+20*\wurzel{x_2})^2[/mm] --> max!
NB: [mm]x_1[/mm]+[mm]x_2[/mm]=500
Verzichten Sie auf die Prüfung der hinreichenden Bedingung! |
Hallo zusammen,
mein Problem bei dieser Aufgabenstellung ist, dass ich [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] nicht ausrechnen kann. Laut Lösung sollte [mm]x_1[/mm]=100 und [mm]x_2[/mm]=400 ergeben.
Zuerst habe ich die binomische Formel ausgerechnet und dann damit die Lagrangefunktion aufgestellt. Dies und die Ableitungen habe ich soweit alle hinbekommen. Wenn ich auflöse, dann bekomme ich z.B. für [mm]x_2[/mm] = [mm]x_1[/mm] +[mm]\bruch{3}{2}[/mm]*[mm]x_1^\bruch{1}{2}
*x_2^\bruch{1}{2}[/mm] heraus. Wenn ich dies, dann in meine NB einsetze, habe ich wieder beide Variablen enthalten. Bekomme also keine Zahl als [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]- Wert heraus. Wie kann ich hier weiterrechnen?
Ich hoffe jemand erkennt mein Problem bzw. meine Fehler und kann mir weiterhelfen!
Ich hänge immer an dieser Stelle fest. Vielen Dank jedenfalls im Voraus für die Mühe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
anmu
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Hallo,
setze doch mal deine Nebenbedingung in die Gleichung ein. Dann kannst du doch mit [mm] $x_1=500-x_2$ [/mm] eine Variable ersetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen.
Gruß
Martin
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Hallo,
vielleicht vertust du dich irgendwo beim Ausrechnen. Also nochmal von vorne:
$f(x,y) = [mm] (10\wurzel{x} [/mm] + [mm] 20\wurzel{y})^2$ [/mm] (lassen wir mal so stehen)
$g(x,y) = x + y - 500$
[mm] $\Lambda(x,y,\lambda) [/mm] = f(x,y) + [mm] \lambda{}g(x,y)$
[/mm]
Nun leiten wir ab:
[mm] $\bruch{\partial\Lambda}{\partial{}x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{}x} ((10\wurzel{x} [/mm] + [mm] 20\wurzel{y})^2 [/mm] + [mm] \lambda(x [/mm] + y - 500)) = [mm] \bruch{100(\wurzel{x} + 2\wurzel{y})}{\wurzel{x}} [/mm] + [mm] \lambda$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial\Lambda}{\partial{}y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{}y} ((10\wurzel{x} [/mm] + [mm] 20\wurzel{y})^2 [/mm] + [mm] \lambda(x [/mm] + y - 500)) = [mm] \bruch{200(\wurzel{x} + 2\wurzel{y})}{\wurzel{y}} [/mm] + [mm] \lambda$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial\Lambda}{\partial{}\lambda} [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial{}\lambda} ((10\wurzel{x} [/mm] + [mm] 20\wurzel{y})^2 [/mm] + [mm] \lambda(x [/mm] + y - 500)) = x + y - 500$
Nun rechne mal [mm] $\bruch{\partial\Lambda}{\partial{}x} [/mm] - [mm] \bruch{\partial\Lambda}{\partial{}y}$ [/mm] aus und ersetze dort $x$ oder $y$ durch die obige Beziehung. Dann musst du nur noch die Nullstelle des Zählers suchen und bist fertig.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Do 20.12.2007 | | Autor: | anmu |
Vielen, vielen Dank für deine Mühe!! 
Ich werde jetzt mal deinen Ansatz versuchen!
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