Bestimmen der quad. Gleichung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Fr 17.08.2007 | | Autor: | Vyse |
| Aufgabe | Die eine Lösung der quadratischen Gleichung
[mm] 3x^{2} [/mm] + 2x + s = 0
ist um 6 grösser als die andere. Bestimmen Sie s und die Lösungen. |
Ich suche nach dem Vorgehen um diese Aufgabe zu lösen.
Ich weiss, dass (Satz von Vieta)
[mm] x_{1}+x_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{b}{a} [/mm] und [mm] x_{1} x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{c}{a} [/mm] gilt, wenn die Gleichung die Form [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{b}{a}x [/mm] + [mm] \bruch{c}{a} [/mm] = 0 hat
und dass eine quadratische Gleichung auch entsprechend faktorisiert werden kann.
[mm] ax^{2} [/mm] + bx + c = a(x - [mm] x_{1} [/mm] )(x - [mm] x_{2})
[/mm]
Ich habe schon jegliches davon anzuwenden versucht, jedoch erfolglos.
Ausserdem bin ich mir gar nicht sicher, ob die oben genannten
Umformung für die Lösung benötigt werden.
Da ich keinen Lösungsansatz habe, begann ich wahllos alles
mögliche auszudrücken und zu berechnen, ohne eigentliches
Lösungskonzept, angefangen mit der der Diskriminante D.
[mm] D=2^{2}-4*3*s [/mm] = 4-12s = 4(1-3s)
woraus ersichtlich wird, dass s [mm] \le [/mm] 0 sein muss.
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-b + \wurzel{D}}{2a} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-b - \wurzel{D}}{2a}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-2 + \wurzel{4(1-3s)}}{2 * 3} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-2 - \wurzel{4(1-3s)}}{2 * 3}
[/mm]
Der Unterschied von 6 könnte durch die Gleichung [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] = 6
ausgedrückt werden, jedoch bin ich mir um Unsicher, ob dies zielführend ist.
Etliches habe ich durchprobiert, gelange aber einfach nicht zur Lösung.
Wäre um jegliche Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Fr 17.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Vyse!
> [mm]x_{1}=\bruch{-2 + \wurzel{4(1-3s)}}{2 * 3}[/mm] und [mm]x_{2} =\bruch{-2 - \wurzel{4(1-3s)}}{2 * 3}[/mm]
Das ist doch schon gut! Wenn du noch die Zweier in Zähler und Nenner kürzt, lässt es sich etwas einfacher schreiben:
[mm]x_{1}=\bruch{-1 + \wurzel{(1-3s)}}{3}[/mm] und [mm]x_{2} =\bruch{-1 - \wurzel{(1-3s)}}{3}[/mm].
> Der Unterschied von 6 könnte durch die Gleichung [mm]x_{1} - x_{2} = 6[/mm]
> ausgedrückt werden, jedoch bin ich mir um Unsicher, ob
> dies zielführend ist.
Auf jeden Fall! Du brauchst nur noch deine Lösung in diese Gleichung einzusetzen, also:
[mm] \bruch{-1 + \wurzel{(1-3s)}}{3} -\bruch{-1 - \wurzel{(1-3s)}}{3} = 6 [/mm].
Zusammengefasst ergibt sich: [mm]\bruch{2\wurzel{(1-3s)}}{3} = 6[/mm], und du kannst einfach nach s auflösen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Vyse |
Diese Gleichung versuchte ich schon zuvor zu lösen, kann mir aber
nicht helfen die Wurzel zu entfernen oder sonst irgendwie s zu isolieren
und gelange durch weiteres Vereinfachen in eine Zwickmühle.
[mm] \bruch{2\wurzel{1-3s}}{3} [/mm] = 6 / *3
[mm] 2\wurzel{1-3s} [/mm] = 18 / :2
[mm] \wurzel{1-3s} [/mm] = 9
Das Quadrieren der Wurzel würde (1-3s) freistellen,
dafür hätte ich die Wurzel wieder auf der andern Seite.
|
|
|
| |
|
Hallo Vyse,
> [mm]\wurzel{1-3s}[/mm] = 9
> Das Quadrieren der Wurzel würde (1-3s) freistellen, dafür hätte ich die Wurzel wieder auf der andern Seite.
Inwiefern? [mm]\sqrt{1-3s} = 9 \Rightarrow 1-3s = 81 \Leftrightarrow^{+3s-81} -80 = 3s \Leftrightarrow^{:3} s = -26.\bar{6}[/mm].
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Vyse |
Hach, vielen Dank, das ist ja schon beinahe ein wenig peinlich.
Ich war in der Idee festgefahren, die Wurzel aufzulösen, indem ich
beide Seiten der Gleichung mit der Wurzel multipliziere, wenn ich jedoch beide Seiten mit jeweils ihrem eigenen Wert quadriere, ändert sich das Verhältnis der Gleichung ja nicht... >_<
Ich denke, die ursprüngliche Aufgabe werde ich hiermit lösen können.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Sa 18.08.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Mit dem Vieta hättest du auch direkt arbeiten können.
[mm] x_1+x_2=-p
[/mm]
[mm] x_1*x_2=q
[/mm]
[mm] x_2=x_1+6
[/mm]
I) [mm] x_1+(x_1+6)=-\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] II)x_1(x_1+6)=\bruch{1}{3}s
[/mm]
Die 1. Gleichung löst du dann nach [mm] x_1 [/mm] auf und kannst sie gemütlich in die 2. einsetzen :P
Die ganzen Drittel entstehen, weil ich vorher durch 3 geteilt hab und es auf die p-q-Formel zurückgeführt hab, was aber das gleiche ist, was du geschrieben hast.
|
|
|
|
