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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Beweisen Sie: [mm] (\gamma [/mm] umläuft den Einheitskreis um 0 in positiver Richtung)
[mm] |\integral_{\gamma}^{}{\bruch{sin(z)}{z²}dz}| \le 2\pi*e [/mm] |
Hallo,
habe für die Standardabschätzung verwendet:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{sin(z)}{z²}dz} \le max|f(z)|*L(\gamma)
[/mm]
Die Parametrisierung müsste ja sein:
[mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] e^{it} [/mm] , t [mm] \in [0,2\pi]
[/mm]
Die Länge [mm] L(\gamma) [/mm] kann man über Integration bestimmen und man erhält [mm] 2\pi. [/mm] Aber wie kann ich das Maximum bestimmen ?
Als Tipp war noch gegeben, man soll die Beziehung [mm] |e^{z}| [/mm] = [mm] e^{Re(z)} [/mm] verwenden.
Kann mir jemand helfen ? Ich muss sagen,dass ich mit der Parametrisierung an sich auch nicht so gut zu recht komme. Kennt jemand vielleicht Beispiele oder Internetseiten, wo das erklärt wird ?
Ich freue mich über jede Hilfe.
Grüße
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 So 14.05.2006 | | Autor: | Fry |
Es hat sich ein Fehler in meiner Aufgabenstellung eingeschlichen:
Man soll zeigen, dass der Betrag des Integrals kleiner gleich [mm] 2*\pi*e [/mm] ist und nicht nur [mm] 2*\pi...
[/mm]
Grüße
Fry
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Hallo fry,
das $e$ ändert tatsächlich einiges an der Aufgabe....  hatte ein wenig nachgedacht und war genau auf diese abschätzung gekommen. Also wir haben
[mm] $\left| \int_\gamma \frac{\sin z}{z^2}dz\right [/mm] | [mm] \le 2\pi \cdot \operatorname{max}_{z\in S^1}\left(\left|\frac{\sin z}{z^2}\right|\right)=2\pi \cdot \operatorname{max}_{z\in S^1}(|\sin [/mm] z| )$
[mm] $S^1$ [/mm] soll dabei den komplexen einheitskreis bezeichnen, auf dem [mm] $|z|^2$ [/mm] natürlich 1 ist und somit aus dem bruch verschwindet. Es bleibt also zu zeigen, dass [mm] $|\sin z|\le [/mm] e$ auf [mm] $S^1$ [/mm] gilt.
Da der sinus der imaginärteil der komplexen exponentialfunktion ist, gilt offenbar
[mm] $|\sin z|\le|e^z|$
[/mm]
Kriegst du den letzten schritt jetzt alleine hin?
VG
Matthias
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