Betrag auf Einheitskreissch. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass das Maximum des Absolutbetrages von [mm] $z^{2}+1$ [/mm] auf der Einheitskreisscheibe [mm] $|z|\le [/mm] 1$ den Wert $2$ hat. |
Ich hätte mir gedacht:
[mm] \[|z^{2}+1|\le |z^{2}|+|1|=|zz|+1=|z||z|+1\le 2\]
[/mm]
da ja [mm] $|z|\le [/mm] 1$.
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Sa 05.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass das Maximum des Absolutbetrages von
> [mm]z^{2}+1[/mm] auf der Einheitskreisscheibe [mm]|z|\le 1[/mm] den Wert [mm]2[/mm]
> hat.
> Ich hätte mir gedacht:
> [mm]\[|z^{2}+1|\le |z^{2}|+|1|=|zz|+1=|z||z|+1\le 2\][/mm]
> da ja
> [mm]|z|\le 1[/mm].
> Richtig?
Ja, und für welche(s) z mit |z| [mm] \le [/mm] 1 ist [mm] |z^2+1| [/mm] =2 ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 So 06.05.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Für $|z|=1$, also
[mm] $x^{2}+y^{2}=1 [/mm] $
wenn $z=x+iy$ und das ist ja genau der Einheitskreis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]|z|=1[/mm],
Nein. Nicht für alle z mit|z|=1 !! Für z=i ist z.B.: [mm] |z^2+1|=0
[/mm]
FRED
> also
> [mm]x^{2}+y^{2}=1[/mm]
> wenn [mm]z=x+iy[/mm] und das ist ja genau der Einheitskreis.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 So 06.05.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Aber für $z=1$ und $z=-1$ müsste es stimmen. Sind das auch die einzigen Zahlen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Aber für [mm]z=1[/mm] und [mm]z=-1[/mm] müsste es stimmen
Ja.
> . Sind das auch
> die einzigen Zahlen?
Ja. Mach Dir klar, warum.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 So 06.05.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Hmmm. Es hängt vermutlich damit zusammen, dass
$a=1,b=0$ und $a=-1,b=0$ die einzigen Zahlen sind, die Lösungen
von
[mm] \[(a+ib)^{2}=1, a^{2}+b^{2}=1\]
[/mm]
sind, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 So 06.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hmmm. Es hängt vermutlich damit zusammen, dass
> [mm]a=1,b=0[/mm] und [mm]a=-1,b=0[/mm] die einzigen Zahlen sind, die
> Lösungen
> von
> [mm]\[(a+ib)^{2}=1, a^{2}+b^{2}=1\][/mm]
> sind, oder?
Nein. Sondern die einigen Lösungen von
[mm] |(a+ib)^2+1|=2 [/mm] und [mm] a^2+b^2=1
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 So 06.05.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Ja, richtig. Vielen Dank für die Hilfe.
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