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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mi 21.03.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Sei [mm] C(K,\IR^m) [/mm] ausgestattet mit der Supremumsnorm und F eine Teilmenge von [mm] C(K,\IR^m). [/mm] Dann sind äquivalent:
(i) Jede Folge in F hat eine (bzgl. der Supremumsnorm) konvergente Teilfolge
(ii) F ist punktweise beschränkt (d. h. füe jedes [mm] x\in [/mm] K ex. ein M=M(x) mit [mm] |\varphi(x)|\le [/mm] M für alle [mm] \varphi\in [/mm] F) und gleichgradig gleichmäßig stetig (d. h. für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] ex. ein [mm] \delta>0 [/mm] mit [mm] |\varphi(x)-\varphi(y)|\le\varepsilon [/mm] für alle [mm] x,y\in [/mm] K mit [mm] d(x,y)\le\delta [/mm] und [mm] \varphi\in [/mm] F). |
Hallo,
ich zitiere einen Abschnitt aus dem Beweis von [mm] (i)\Rightarrow [/mm] (ii):
Angenommen F ist nicht gleichgradig stetig. Dann ex. ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] und zu jedem [mm] n\in\IN\;\;\; x_n,y_n\in [/mm] K und [mm] \varphi_n\in [/mm] F mit
[mm] |\varphi_n(x_n)-\varphi_n(y_n)|\ge\varepsilon [/mm] und [mm] d(x_n,y_n)<\frac{1}{n}.
[/mm]
Nach (i) sei [mm] \varphi [/mm] o. E. konvergent mit Grenzwert [mm] \varphi. [/mm] Es ist [mm] \varphi [/mm] stetig, da wegen Vollständigkeit wieder in [mm] C(K,\IR^m) [/mm] und da K kompakt sogar glm. stetig. Also gilt
(*) [mm] |\varphi(x_n)-\varphi(y_n)|\to0,n\to\infty.
[/mm]
Andererseits gilt (die Stelle die jetzt kommt, ist vollkommen unklar bzw. falsch):
[mm] |\varphi(x_n)-\varphi(y_n)|\ge -|\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n)|-|\varphi_n(x_n)-\varphi_n(y_n)|-|\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n)|
[/mm]
[mm] \ge -2\|\varphi_n-\varphi\|+|\varphi_n(x_n)-\varphi(y_n)|
[/mm]
[mm] \ge \varepsilon/2
[/mm]
Meine Frage ist, ob sich das irgendwie noch retten lässt. Die Idee ist ja, (*) zum Widerspruch zu führen, aber was da mit den Vorzeichen passiert ist mir absolut schleierhaft.
Kann mir bitte jemand helfen?
Gruß&Dank
mili
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mi 21.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo mili!
> Sei [mm]C(K,\IR^m)[/mm] ausgestattet mit der Supremumsnorm und F
> eine Teilmenge von [mm]C(K,\IR^m).[/mm] Dann sind äquivalent:
>
> (i) Jede Folge in F hat eine (bzgl. der Supremumsnorm)
> konvergente Teilfolge
> (ii) F ist punktweise beschränkt (d. h. füe jedes [mm]x\in[/mm] K
> ex. ein M=M(x) mit [mm]|\varphi(x)|\le[/mm] M für alle [mm]\varphi\in[/mm]
> F) und gleichgradig gleichmäßig stetig (d. h. für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] ex. ein [mm]\delta>0[/mm] mit
> [mm]|\varphi(x)-\varphi(y)|\le\varepsilon[/mm] für alle [mm]x,y\in[/mm] K
> mit [mm]d(x,y)\le\delta[/mm] und [mm]\varphi\in[/mm] F).
> Hallo,
>
> ich zitiere einen Abschnitt aus dem Beweis von
> [mm](i)\Rightarrow[/mm] (ii):
>
> Angenommen F ist nicht gleichgradig stetig. Dann ex. ein
> [mm]\varepsilon>0[/mm] und zu jedem [mm]n\in\IN\;\;\; x_n,y_n\in[/mm] K und
> [mm]\varphi_n\in[/mm] F mit
>
> [mm]|\varphi_n(x_n)-\varphi_n(y_n)|\ge\varepsilon[/mm] und
> [mm]d(x_n,y_n)<\frac{1}{n}.[/mm]
>
> Nach (i) sei [mm]\varphi[/mm] o. E. konvergent mit Grenzwert
> [mm]\varphi.[/mm] Es ist [mm]\varphi[/mm] stetig, da wegen Vollständigkeit
> wieder in [mm]C(K,\IR^m)[/mm] und da K kompakt sogar glm. stetig.
> Also gilt
>
> (*) [mm]|\varphi(x_n)-\varphi(y_n)|\to0,n\to\infty.[/mm]
>
> Andererseits gilt (die Stelle die jetzt kommt, ist
> vollkommen unklar bzw. falsch):
>
> [mm]|\varphi(x_n)-\varphi(y_n)|\ge -|\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n)|-|\varphi_n(x_n)-\varphi_n(y_n)|-|\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n)|[/mm]
>
> [mm]\ge -2\|\varphi_n-\varphi\|+|\varphi_n(x_n)-\varphi(y_n)|[/mm]
>
> [mm]\ge \varepsilon/2[/mm]
>
> Meine Frage ist, ob sich das irgendwie noch retten lässt.
> Die Idee ist ja, (*) zum Widerspruch zu führen, aber was
> da mit den Vorzeichen passiert ist mir absolut
> schleierhaft.
>
> Kann mir bitte jemand helfen?
Ich glaube,da sind einige Betragsstriche verloren gegangen. Zunächst wird folgende Gleichung aufgestellt:
[mm] \varphi(x_n)-\varphi(y_n) = \varphi(x_n)-\varphi_n(x_n) + \varphi_n(x_n)-\varphi_n(y_n) + \varphi_n(y_n)-\varphi(y_n) [/mm] .
Dann wird die Dreiecksungleichung angewandt, in der Form
[mm] |x-y| \ge \bigl| |x|-|y|\bigr| [/mm],
wobei $x= [mm] \varphi_n(x_n)-\varphi_n(y_n)$ [/mm] und $y = [mm] -(\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n))-(\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n)) [/mm] $.
Damit ergibt sich
[mm] | \varphi(x_n)-\varphi(y_n)|\ge \bigl||\varphi_n(x_n)-\varphi_n(y_n)|-|(\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n))+(\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n))|\bigr|[/mm] .
Nochmal die Dreiecksungleichung:
[mm] |(\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n))+(\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n))|\le |\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n)| + |\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n)| [/mm],
und daher
[mm] -|(\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n))+(\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n))| \ge -|\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n)|-|\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n)|[/mm] .
Zusammengefasst:
[mm]| \varphi(x_n)-\varphi(y_n)|\ge \bigl||\varphi_n(x_n)-\varphi_n(y_n)| -|\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n)|-|\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n)|\bigr| [/mm].
Nun ist
[mm] |\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n)| \le \|\varphi-\varphi_n\|[/mm]
(und genauso mit [mm] $y_n$ [/mm] statt [mm] $x_n$), [/mm]
also
[mm] - |\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n)| -|\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n)| \ge - 2\|\varphi-\varphi_n\|[/mm] .
Für hinreichend großes n ist [mm] $\|\varphi-\varphi_n\|\le \varepsilon/4$, [/mm] also
[mm] - |\varphi(x_n)-\varphi_n(x_n)| -|\varphi_n(y_n)-\varphi(y_n)| \ge - 2\|\varphi-\varphi_n\| \ge -\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] .
Jetzt musst du das nur noch zusammenbauen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Fr 23.03.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo RainerS,
vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.
Nur noch eine Frage zum Verständnis:
Das [mm] \varphi [/mm] aus dem Beweis liegt aufgrund der Vollständigkeit von [mm] C(K,\IR^m) [/mm] mit Sup.norm wieder in [mm] C(K,\IR^m).
[/mm]
Aber es muss gar nicht notwendig in F liegen, oder?
Dank&Gruß
mili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Fr 23.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo RainerS,
>
> vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.
>
> Nur noch eine Frage zum Verständnis:
>
> Das [mm]\varphi[/mm] aus dem Beweis liegt aufgrund der
> Vollständigkeit von [mm]C(K,\IR^m)[/mm] mit Sup.norm wieder in
> [mm]C(K,\IR^m).[/mm]
> Aber es muss gar nicht notwendig in F liegen, oder?
Aber die Voraussetzung in Teil (i) ist, dass die Folge in F konvergiert, also der Grenzwert auch ein Element von F ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 23.03.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
> > Das [mm]\varphi[/mm] aus dem Beweis liegt aufgrund der
> > Vollständigkeit von [mm]C(K,\IR^m)[/mm] mit Sup.norm wieder in
> > [mm]C(K,\IR^m).[/mm]
> > Aber es muss gar nicht notwendig in F liegen, oder?
>
> Aber die Voraussetzung in Teil (i) ist, dass die Folge in F
> konvergiert, also der Grenzwert auch ein Element von F ist.
Bist du dir sicher? Dort steht doch nur, dass jede Folge in F eine konvergente Teilfolge hat. Ich kann irgendwie noch nicht so ganz dran glauben, dass das bedeuten soll, dass der Grenzwert schon in F liegt.
Hier steht als Interpretation/ Verallgemeinerung für den Satz:
"Eine Menge im metrischem Raum hat kompakten Abschluss genau dann wenn jede Folge in der Menge eine konvergente Teilfolge hat."
Daher auch meine Frage.
Bitte noch einmal um Hilfe:)
mili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Sa 24.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo mili!
> Hallo,
> > > Das [mm]\varphi[/mm] aus dem Beweis liegt aufgrund der
> > > Vollständigkeit von [mm]C(K,\IR^m)[/mm] mit Sup.norm wieder in
> > > [mm]C(K,\IR^m).[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > > Aber es muss gar nicht notwendig in F liegen, oder?
> >
> > Aber die Voraussetzung in Teil (i) ist, dass die Folge in F
> > konvergiert, also der Grenzwert auch ein Element von F
> ist.
> Bist du dir sicher? Dort steht doch nur, dass jede Folge
> in F eine konvergente Teilfolge hat. Ich kann irgendwie
> noch nicht so ganz dran glauben, dass das bedeuten soll,
> dass der Grenzwert schon in F liegt.
Sorry, da haben wir ein bischen aneinander vorbeigeredet. Eine beliebige Folge in F muss natürlich gar nicht konvergieren. Aber: nach Voraussetzung (i) gibt es eine in F konvergente Teilfolge, was bedeutet, dass deren Grenzwert in F liegt.
Wenn aber die Folge $(\varphi_n)_n}$ in F (also $\varphi_n\in F$ für alle $n$) in $C(K,\IR^m)$ gegen $\varphi$ konvergiert, dann konvergiert natürlich auch jede Teilfolge davon in $C(K,\IR^m)$ gegen $\varphi$. Und da nach Voraussetzung (i) es eine Teilfolge in F gibt, die konvergiert, deren Grenzwert also in F liegt, dann muss folglich auch $\varphi\in F$ gelten.
Viele Grüße
Rainer
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