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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Fr 06.06.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | | Weisen Sie nach, dass 1, -1, i, -i Einheiten im Ring [mm] \IZ[i] [/mm] der ganzen Gaußschen Zahlen sind. Geben Sie die zu a+bi assoziierten Elemente an. |
Bonsoir!
also das einselement im Ring [mm] \IZ[i] [/mm] lautet ja: 1=1+0*i.
und es ist offensichtlich, dass 1, -1 einheiten sind, denn:
1*(-1)=1
ebenso i, -i, denn:
i*(-i)=-i²=-(-1)=1.
aber das reicht sicher nicht für den geforderten beweis, oder? was muss ich noch schreiben?
und mit dem 2. teil der aufgabe ("zu a+bi assoziierten Elemente") weiß ich leider nicht so ganz, was gemeint ist!
danke für eure hilfe,
salut.
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Hallo jura,
nun ja, wir rechnen ja in [mm] \IZ[i]. [/mm] Von daher gibt es nur zu 1 bzw. -1 und i bzw. -i inverse Elemente, so dass eine Einheit herauskommt. Andere Zahlen lassen sich im Ring der ganzen Zahlen ja gar nicht finden. Erst, wenn wir den Bereich auf [mm] \IQ [/mm] erweitern, lassen sich andere Einheiten finden. Man müsste theoretisch zeigen, dass die vier Elemente die einzigen invertierbaren Elemente sind.
Sei dazu [mm] z\in\IZ[i] [/mm] invertierbar, also zy=1 mit [mm] y\in\IZ[i]. [/mm] Aus zy=1 folgt 1=N(zy)=N(z)N(y) (N ist die Norm). Da N(z) und N(y) natürliche Zahlen sind, folgt N(z)=1. z habe nun die Struktur [mm] z=z_{1}+z_{2}*i [/mm] mit [mm] z_{1},z_{2}\in\IZ [/mm] und gilt [mm] 1=N(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}, [/mm] so ist offensichtlich z eines der vier Elemente 1,-1,i,-i. q.e.d.
Zu den assoziierten Elementen: Man nennt z,y assoziiert, wenn z|y und y|z. Genau dann sind z,y assoziiert, wenn es ein invertierbares Element x gibt, so dass y=xz. Ist [mm] z\not=0, [/mm] so gibt es vier zu z assoziierte Elemente. Welche sind das wohl? Genau! z, iz, -z, -iz.
Hoffe, das hat dir geholfen!
Grüße Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 07.06.2008 | | Autor: | jura |
hallo und herzlichen dank!
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> nun ja, wir rechnen ja in [mm]\IZ[i].[/mm] Von daher gibt es nur zu 1 [/i][/mm]
> [mm][i]bzw. -1 und i bzw. -i inverse Elemente, so dass eine [/i][/mm]
> [mm][i]Einheit herauskommt. Andere Zahlen lassen sich im Ring der [/i][/mm]
> [mm][i]ganzen Zahlen ja gar nicht finden. Erst, wenn wir den [/i][/mm]
> [mm][i]Bereich auf [mm]\IQ[/mm] erweitern, lassen sich andere Einheiten [/i][/mm]
> [mm][i]finden. Man müsste theoretisch zeigen, dass die vier [/i][/mm]
> [mm][i]Elemente die einzigen invertierbaren Elemente sind. [/i][/mm]
das verstehe ich nicht so ganz, denn im bereich der komplexen zahlen [mm] \IC [/mm] existiert doch zu jedem element ein inverses und da [mm] \IZ[i] [/mm] ja ein unterring von [mm] \IC [/mm] ist, müsste folglich auch hier jedes element ein inverses besitzen, oder?!
> [mm][i]Sei dazu [mm]z\in\IZ[i][/mm] invertierbar, also zy=1 mit [mm]y\in\IZ[i].[/mm] Aus [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]zy=1 folgt 1=N(zy)=N(z)N(y) (N ist die Norm). Da N(z) und [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]N(y) natürliche Zahlen sind, folgt N(z)=1. z habe nun die [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]Struktur [mm]z=z_{1}+z_{2}*i[/mm] mit [mm]z_{1},z_{2}\in\IZ[/mm] und gilt [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm]1=N(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2},[/mm] so ist offensichtlich z eines [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]der vier Elemente 1,-1,i,-i. q.e.d.[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
wie kommt man auf die sache mit der norm?
> [mm][i][mm][i][mm][i] [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]Zu den assoziierten Elementen: Man nennt z,y assoziiert, [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]wenn z|y und y|z. Genau dann sind z,y assoziiert, wenn es [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]ein invertierbares Element x gibt, so dass y=xz. Ist [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i][mm]z\not=0,[/mm] so gibt es vier zu z assoziierte Elemente. Welche [/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i][mm][i]sind das wohl? Genau! z, iz, -z, -iz.[/i][/mm][/i][/mm][/i][/mm]
vielen dank nochmal, bis später!
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Hallo,
wie du richtig sagst, sind in [mm] \IZ[i] [/mm] doch viel weniger Elemente als in [mm] \IC. [/mm] Die Elemente in [mm] \IZ[i] [/mm] sind doch gerade [mm] z=z_{1}+z_{2}*i [/mm] mit [mm] z_{1},z_{2}\in\IZ [/mm] und die haben gewiss nicht alle ein Inverses, sonst wären alle Elemente Einheiten, wenn man mal von der 0 absieht.
Die Norm ist an der Stelle nur ein Hilfsmittel. Näheres kannst du dem ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel dazu entnehmen.
Grüße, Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Sa 07.06.2008 | | Autor: | jura |
ja klar- denkfehler- denn die inversen elemente, die in [mm] \IC [/mm] existieren liegen ja dann nicht mit in [mm] \IZ- [/mm] also gut, ich glaub dir, dass nur 4 einheiten existieren 
und wie ich das verstehe, resultieren dann aus diesen 4 einzigen invertierbaren elemnten (1, -1, i, -i) die 4 einzigen assoziierten elemente (z, -z, iz, -iz). würdest du das einfach als ergebnis schreiben, oder noch irgendetwas anderes?
nagut, dann danke nochmal, gruß, jule
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Hallo jura, ich denke das reicht, wenn man das so schreibt!
Beste Grüße
Daniel
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