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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mo 08.07.2013 | | Autor: | Tcd |
| Aufgabe | Sei f : [a;∞) eine uneigentlich absolut integrierbare Regelfunktion. Beweisen Sie:
[mm] \limes_{w\rightarrow\infty} \integral_{a}^{∞}{f(x) dx} [/mm] f(x) cos(wx)dx = 0
Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{w\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b} [/mm] f(x) cos(wx)dx = 0 für alle Treppenfunktionen f : [a; b] -> R gilt.
Dehnen Sie diese Aussage auf Regelfunktionen aus. Zerlegen Sie schließlich das Integrationsintervall [a;∞)
geeignet in [a; b] und [b;∞) um die Behauptung zu beweisen. |
Ich habe ersteres bereits mit partieller Integration und Substitution versucht, bin jedoch dadran gescheitert, dass ich statt dem Cosinus stets den Sinus erhielt und der geht gegen 1 mit [mm] \limes_{w\rightarrow\infty}. [/mm] Den Cosinus in der Stammfunktion zu haben wäre sicherlich hilfreich, da f(x) beliebig ist und der restliche Term somit 0 sein muss, damit das Integral auch 0 ist, was bei [mm] \limes_{w\rightarrow\infty}cos(wx) [/mm] gegeben ist, auf dem ich mit den Integrationsmethoden nicht komme.
Vielen dank für die Hilfe! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:02 Di 09.07.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hinweis: Zeigen Sie, dass
> [mm]\limes_{w\rightarrow\infty}\integral_{a}^{b}[/mm] f(x) cos(wx)dx
> = 0 für alle Treppenfunktionen f : [a; b] -> R gilt.
> Dehnen Sie diese Aussage auf Regelfunktionen aus. Zerlegen
> Sie schließlich das Integrationsintervall [a;∞)
> geeignet in [a; b] und [b;∞) um die Behauptung zu
> beweisen.
>
> Ich habe ersteres bereits mit partieller Integration und
> Substitution versucht, bin jedoch dadran gescheitert, dass
> ich statt dem Cosinus stets den Sinus erhielt und der geht
> gegen 1 mit [mm]\limes_{w\rightarrow\infty}.[/mm]
Hallo Tcd,
der Hinweis liest sich für mich anders! Zeige [mm] $\lim_{w\to\infty} \int_a^b [/mm] f(x) [mm] \cos [/mm] (wx) dx = 0$ für konstante Funktionen, dann für Treppenfunktionen, dann für Regelfunktionen.
Gruß,
Wolfgang
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