Beweis Symmetrieeig.hyperb.Fkt < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 So 27.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Beweisen Sie die Symmetrieeigenschaften der 4 hyperbolischen Funktionen! |
Hi!
Ich weis nicht genau wie ich bei so einem Beweis überhaupt vorgehen muss...
Also erstmal hab ich mir überlegt, dass das zum Beispiel bei [mm] y=cosh(x)=\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x}) [/mm] heissen würde:
Die y-Werte links vom Scheitelpunkt (0/1) sind die gleichen wie die y-Werte rechts vom Scheitelpunkt:
-x=y=x bzw [mm] y=\pmx [/mm] ?
Kann ich die Funktion dann in 2 Teile aufteilen oder wie mache ich das?
Besten gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 So 27.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie die Symmetrieeigenschaften der 4
> hyperbolischen Funktionen!
> Hi!
> Ich weis nicht genau wie ich bei so einem Beweis überhaupt
> vorgehen muss...
> Also erstmal hab ich mir überlegt, dass das zum Beispiel
> bei [mm]y=cosh(x)=\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})[/mm] heissen würde:
>
> Die y-Werte links vom Scheitelpunkt (0/1) sind die gleichen
> wie die y-Werte rechts vom Scheitelpunkt:
> -x=y=x bzw [mm]y=\pmx[/mm] ?
>
> Kann ich die Funktion dann in 2 Teile aufteilen oder wie
> mache ich das?
>
> Besten gruß,
> tedd
>
Gehe einfach streng nach der Definition von Punktsymmetrie zum Ursprung bzw. Symmetrie zu y-Achse.
Zeige, dass f(-x)=-f(x) bzw. f(-x)=f(x) gilt.
Zu deinem Beispiel:
[mm]cosh(x)=\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x})[/mm]
[mm]cosh(-x)=\bruch{1}{2}(e^{(-x)}+e^{-(-x)})=.....[/mm] Was kommt raus? Dasselbe wie bei cosh(x) oder das Entgegegesetzte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mo 28.07.2008 | | Autor: | tedd |
Ahh okay...
Danke für die Antwort abakus :)
Dann habe ich für:
[mm] f(x)=cosh(x)=\bruch{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)
[/mm]
[mm] f(-x)=\bruch{1}{2}\left(e^{-x}+e^{x}\right)=\bruch{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)=f(x)
[/mm]
[mm] \to [/mm] f(x)=cosh(x) ist Achsensymmetrisch zur y-Achse.
[mm] f(x)=sinh(x)=\bruch{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)
[/mm]
[mm] f(-x)=\bruch{1}{2}\left(e^{-x}-e^{x}\right)=-\bruch{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)=-f(x)
[/mm]
[mm] \to [/mm] f(x)=sinh(x) ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.
[mm] f(x)=tanh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
[/mm]
[mm] f(-x)=\bruch{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}}=-1*\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=-f(x)
[/mm]
[mm] \to [/mm] f(x)=tanh(x) ist Punktsymmetrisch zum Ursprung.
Jetzt hab ich nur ein Problem, die symmetrie bei f(x)=coth(x) nachzuweisen (aufgrund der Polgeraden und/oder Asymptoten?)
[mm] f(x)=coth(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}
[/mm]
[mm] f(-x)=\bruch{e^{-x}+e^{x}}{e^{-x}-e^{x}}=\bruch{e^x+e^{-x}}{e^{-x}-e^{x}}
[/mm]
und hier ist f(-x) weder =f(x) noch =-f(x).
Letzteres hätte ich nach Betrachtung des Graphen erwartet ...
Welchen "Trick" muss ich hier anwenden?
Danke und besten Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mo 28.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du weisst, dass der Coth(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, also muss gelten:
f(-x)=-f(x)
Korrekterweise hast du ja:
[mm] \coth(x)=\bruch{e^{x}+e{-x}}{e^{x}-e^{-x}}
[/mm]
Und [mm] \coth(-x)=\bruch{e^{-x}+e^{x}}{e^{-x}-e^{x}}
[/mm]
Klammere jetzt mal -1 im Nenner aus
[mm] \bruch{e^{-x}+e^{x}}{e^{-x}-e^{x}}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-x}+e^{x}}{(-1)*(-e^{-x}+e^{x})}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-x}+e^{x}}{(-1)*(e^{x}-e^{-x})}
[/mm]
[mm] =-\bruch{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}
[/mm]
[mm] =-\coth(x)
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mo 28.07.2008 | | Autor: | tedd |
Ohh...
Naja wenn man nicht vergessen hat, dass man im Nenner auch -1 ausklammern kann und dass dann vor den Bruch ziehen, dann ists klar :)
Danke für die Antwort Marius.
Besten Gruß,
tedd
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