Beweis Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mo 30.05.2005 | | Autor: | aga77kn |
Hallo,
vorab: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgendes Problem. Für meine Beweisführung zu einem anderen Thema brauche ich folgenden Zwischenschritt, der sich sicherlich auch recht einfach für geübte beweisen lässt.
Ich habe eine ZVA x. Ich will nun zeigen das die zugehörige Verteilungsfunktion [mm] F_{x} [/mm] genau dann stetig ist, wenn P(x=a)=0 für alle a [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Mir als Hobbymathematiker scheint das auch irgendwie eingäglich zu sein, allerdings wäre ich über einen kurzen Hinweis für eine korrekte formelle Behandlung sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Christian!
Um die Frage beantworten zu können, muss ich wissen, ob die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen als
[mm] $F(x)=P(X\le [/mm] x)$
oder als
$F(x)=P(X<x)$
definiert habe? Davon hängt nämlich ab, ob $F$ rechts- oder linksseitig stetig ist.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Mo 30.05.2005 | | Autor: | aga77kn |
Erst mal danke dür das schnelle Engagement Julius!
Meine Verteilungsfunktion ist über ein [mm] \le [/mm] definiert. Hatte ich vergessen zu schreiben...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Verteilungsfunktion $F$ ist immer rechtsseitig stetig, denn wegen der Stetigkeit des W--Maßes $P$ von oben und
[mm] $\{X \le x + \frac{1}{n}\} \downarrow \{X \le x\}$
[/mm]
(also: [mm] $\left\{X \le x + \frac{1}{n}\right\} \subset \left\{X \le x + \frac{1}{m}\right\}$ [/mm] für $n [mm] \ge [/mm] m$ und$ [mm] \bigcap\limits_{n \in \IN} \left\{X \le x + \frac{1}{n} \right\} [/mm] = [mm] \{X \le x\}$)
[/mm]
gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} [/mm] F [mm] \left( x + \frac{1}{n} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} [/mm] P [mm] \left( X \le x + \frac{1}{n} \right) [/mm] = [mm] P(X\le [/mm] x) = F(x)$.
Jetzt bilden wir den linksseitigen Grenzwert.
Wegen
[mm] $\{X \le x - \frac{1}{n}\} \uparrow \{X \le x\}$
[/mm]
(also: [mm] $\left\{X \le x - \frac{1}{n} \right\} \supset \left\{X \le x - \frac{1}{m} \right\}$ [/mm] für $n [mm] \ge [/mm] m$ und [mm] $\bigcup\limits_{n \in \IN} \left\{X \le x - \frac{1}{n} \right\} [/mm] = [mm] \{X \le x\}$)
[/mm]
und der Stetigkeit des W-Maßes $P$ von unten gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} F\left( x - \frac{1}{n} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} [/mm] P [mm] \left( X \le x-\frac{1}{n} \right) [/mm] = P(X<x) = F(x) - P(X=x)$,
und man sieht ganz deutlich:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} F\left( x - \frac{1}{n} \right) [/mm] =F(x) [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] P(X=x)=0$.
Viele Grüße
Julius
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