Beweis einfach zshg. Gebiet < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | a) Es seien G [mm] \supseteq \IC [/mm] ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f:G --> [mm] \IC [/mm] eine holomorphe Abbildung, so dass gilt f(G) [mm] \supseteq \IC \*. [/mm] Beweisen Sie dass es eine holomorphe Abbildung g: G --> [mm] \IC [/mm] so gibt, dass gilt [mm] g^2 [/mm] =f
b) Es sei G [mm] \supseteq \IC \* [/mm] ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Beweisen Sie, dass es eine holomorphe Abbildung q: G --> [mm] \IC [/mm] so gibt, dass gilt [mm] q(z)^2 [/mm] = z für alle z [mm] \in [/mm] G |
Hallo,
leider weiß ich nicht, wie ich die Behauptungen beweisen könnte.
a) muss ich isolierte Singularitäten beachten? Oder ist es wichtiger mit dem einfach zusammenhängednen Gebiet den Beweis zu führen?
b)soll ich nur beweisen, dass es eine Abb. q gibt oder auch wie sie dann heißt? Wie könnte ich das machen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Um Dir zu helfen, muß man erst wissen, wie Ihr "einfach zusammenhängend" definiert habt !!! Schreib das mal auf.
übrigends: b) folgt aus a) mit f(z) = z.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ronja33 |
Wir haben einfach zusammenhängend so definiert:
Ein Gebiet [mm] G\supseteq \IC [/mm] heißt einfach zusammenhängend, wenn jeder geschlossene Integrationsweg in G nullhomolog ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Frage:
habt Ihr schon Charakterisierungen einfach zusammenhängender Gebiete gehabt ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ronja33 |
Ich weiß nicht, ob du das meinst:
Für ein Gebiet sind äquivalent:
i) G ist einfach zusammenhängend
ii) Jede holomorphe Abbildung f: [mm] G-->\IC [/mm] hat eine Stammfunktion
iii) Es gilt [mm] \integral_{kappa}{f(z) dz}=0 [/mm] für jede holomorphe Abbildung [mm] f:G-->\IC [/mm] und jedem Zyklus kappa in G
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ronja33 |
Ist damit die Charakterisierung gemeint?
Hilft mir das für den Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja.
Wegen f(G) $ [mm] \supseteq \IC [/mm] *. $ ist f auf G nullstellenfrei, also ist $f'/f$ auf G holomorph.
Da G einfach zusammenhängend ist ex. eine auf G holomorphe Funktion F mit
$F' = f'/f$ auf G.
Setze h = [mm] \bruch{e^F}{f}. [/mm] Dann ist h auf G holomorph und (nachrechnen !!):
$ h'= 0$ auf G.
Somit ex. ein c [mm] \in \IC [/mm] mit
[mm] $e^F [/mm] = cf$ auf G.
Wähle a [mm] \in \IC [/mm] so, dass [mm] $a^2 [/mm] = c$ ist und setze
$g = [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{2}F}}{a}$
[/mm]
Dann ist [mm] $g^2=f$ [/mm] auf G.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ronja33 |
Vielen Dank für die Antwort!!!
Was ich jetzt noch nicht verstanden habe, ist [mm] h=e^F/f. [/mm] Warum setzt man h so? und wo kommt dann das c her? [mm] e^F=c
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Antwort!!!
> Was ich jetzt noch nicht verstanden habe, ist [mm]h=e^F/f.[/mm]
> Warum setzt man h so?
Weil es damit funktioniert !
> und wo kommt dann das c her? [mm]e^F=c[/mm]
nein. [mm]e^F=cf[/mm] . h ist doch konstant !!
FRED
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