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| Aufgabe | Seien M , N Mengen und m , m' [mm] \in [/mm] M , n , n' [mm] \in [/mm] N . Zeige
[mm] \{\{ m \} , \{ m , n \}\} [/mm] = [mm] \{\{ m' \} , \{ m' , n' \}\} \gdw [/mm] m = m' n = n' |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich habe nun mein Mathestudium begonnen und bekomme gleich so etwas aufgetischt. Mir fehlt es leider schon ein wenig am Ansatz und möchte auch nicht unbedingt die Lösung hier präsentiert bekommen , aber über einen kleinn Ansatz und eine kurze Erwähnung der weiteren vorgehensweise wäre ich schon richtig dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mi 16.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Seien M , N Mengen und m , m' [mm]\in[/mm] M , n , n' [mm]\in[/mm] N .
> Zeige
>
> [mm]\{\{ m \} , \{ m , n \}\}[/mm] = [mm]\{\{ m' \} , \{ m' , n' \}\} \gdw[/mm]
> m = m' n = n'
Es gibt hier drei wichtige Definitionen, die ihr sicher auch hattet.
Für beliebige Mengen $A, B$ ist:
i) [mm] $A\subseteq B\Leftrightarrow\forall x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$
ii) [mm] $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\wedge B\subseteq [/mm] A$
Diese musst du "einfach" stur darauf anwenden, und zwar gnadenlos.
(ich weiß, einfach ist das nicht am Anfang).
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Hmm das ist echt Wahnsinn - auch dieser Tipp hilft mir nicht wirklich weiter. Schade den die sonstigen Aufgaben konnte ich alles lösen. Kann mir das jemand vll genau erklären  Danke schon einmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mi 16.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Ok ich seh ein das is ganz schön frickelig, vielleicht hilft dir ja mal ein Beispiel, wie ich es jetzt gemacht hätte:
[mm] z.z.:$\{m\}=\{n\}\Leftrightarrow [/mm] m=n$
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] trivial, da [mm] $\{m\}=\{m\}$.
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$": $\{m\}=\{n\}\Rightarrow\{m\}\subseteq\{n\}\Rightarrow\forall x\in\{m\}:x\in\{n\}\Rightarrow\forall x\in\{m\}:x=n\Rightarrow [/mm] m=n$
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Aber explizit zu zeigen , dass m = m' scheinst du ja auch nicht einzugehen , oder macht mir schon die Uhrzeit zu schaffen. Trotzdem einmal dankeschön
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
doch, im Prinzip hat er das gezeigt. Man müßte es vll. (damit Du es komplett auf Deine Aufgabe übertragen kannst) ergänzen:
Gelte
$(\*)$ $\{\{m\},\{m,n\}\}=\{\{m'\},\{m',n'\}$
und nun ist zu zeigen, dass daraus $m=m'$ und $n=n'$ folgt.
Eigentlich braucht man hier nun Fallunterscheidungen:
1. Fall:
Was passiert hier im Falle $m=n$? Dann ist $m'=n'$, denn andernfalls wäre... ($\leftarrow$ kannst Du das ergänzen?)
Was steht dann oben? Wenn $m=n$, gilt ja auch $m'=n'$.
$(\*)$ geht dann über in $\{\{m\}\}=\{\{m'\}\}$ (Warum?). Also gilt auch $\{m\}=\{m'\}$ und daraus wiederum folgt...
2. Fall:
Sei $m \not=n$. Dann ist auch $m' \not=n'$, denn andernfalls... ?
Aus $(\*)$ folgt dann hier zum einen $\{m\}=\{m'\}$, zum anderen $(\*\*)$ $\{m,n\}=\{m',n'\}$. Aus $\{m\}=\{m'\}$ folgt $m=m'$, und wenn man dies in $(\*\*)$ einsetzt, folgt...
So, also da stehen jetzt sehr viele Hinweise, sogar die Beweisreihenfolge. Du kannst auch mal überlegen, dass für $r \not= s$ sicherlich nicht $\{r,s\}=\{t\}$ gelten kann, denn andernfalls müßte insbesondere jedes Element aus der linken Menge auch in der rechten sein:
Ist also $x \in \{r,s\}$, so müßte die Konsequenz sein, dass $x \in \{t\}$ und damit $x=t$. Es ist aber $r \in \{r,s\}$ und $s \in \{r,s\}$, also müßte $r=t$ und $s=t$ folgen und damit $s=t=r$ im Widerspruch zu $r \not= s$.
Grob gesagt würde ich hier auch einfacher sagen:
Für $r \not=s$ hat $\{r,s\}$ 2 Elemente und $\{t\}$ 1 Element. Die eine endliche Menge hat aber mehr Elemente wie die andere, alleine aus dieser Tatsache folgt schon, dass diese Mengen dann nicht gleich sein können.
Diese Überlegung solltest Du oben berücksichtigen.
Gruß,
Marcel
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