Beweis für Mengengleichheit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien A,B,C Mengen. Zeigen Sie A x (B [mm] \cap [/mm] C) = (A x B) [mm] \cap [/mm] (A x C) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann ich mit Mengen gleich rechnen wie mit normalen Zahlen? Also einfach Klammern auflösen usw...
Mir würde das etwas komisch vorkommen doch eine andere Idee habe ich leider nicht!
Ich hoffe das verstoßt jetzt nicht gegen die Vorschriften :P
Ein Ansatz würde mir jedoch sehr helfen.
Vielen Dank im voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 08.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin MatheClown11,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du musst zweierlei zeigen:
(i) [mm] $A\times(B\cap [/mm] C) [mm] \subset [/mm] (A [mm] \times B)\cap [/mm] (A [mm] \times [/mm] C)$
(ii) $(A [mm] \times B)\cap [/mm] (A [mm] \times [/mm] C) [mm] \subset A\times(B\cap [/mm] C)$
Ich fange mal mit (i) an. Sei [mm] $x\in A\times(B\cap [/mm] C)$. Dann koennen wir
schreiben $x=(r,s)$ mit [mm] $r\in [/mm] A$ und [mm] $s\in B\cap [/mm] C$. Also ist [mm] $s\in [/mm] B$
und [mm] $s\in [/mm] C$. Folglich ist [mm] $(r,s)\in A\times [/mm] B$ und [mm] $(r,s)\in A\times [/mm] C$,
also [mm] $x=(r,s)\in [/mm] (A [mm] \times B)\cap [/mm] (A [mm] \times [/mm] C)$.
Jetzt versuch dich mal selber an (ii).
vg Luis
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zuerst einmal danke für die Antwort, hat mir zumindest einmal einen Start gegeben :)
Allerdings komme ich beim zweiten Beweis jetzt auch nicht weiter.
Also ich habe angefangen mit:
Sei [mm] x\in [/mm] (A x B) [mm] \cap [/mm] (A x C) und x=(a,b,c), dann ist [mm] (a,b)\in [/mm] A x B und [mm] (a,c)\in [/mm] A x C
Also ist [mm] a\inA [/mm] und [mm] (b,c)\in [/mm] B x C oder?
Doch wie komme ich jetzt zur Durchschnittsmenge von B und C? Weil ich kann ja nicht sagen, dass b,c automatisch Elemente aus [mm] B\capC [/mm] sind oder? Da b und c ja Elemente von B und C sind.
Bin ich da vollkommen falsch oder fehlt mir nur ein teil zum puzzel? :P
Vielen dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Do 08.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo MatheClown11 und auch von mir ein herzliches !
> Also ich habe angefangen mit:
> Sei [mm]x\in[/mm] (A x B) [mm]\cap[/mm] (A x C)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und x=(a,b,c)
Nein, x ist kein Tripel.
[mm] $x\in(A\times B)\cap(A\times [/mm] C)$ bedeutet [mm] $x\in A\times [/mm] B$ und [mm] $x\in A\times [/mm] C$.
Also existieren [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $b\in [/mm] B$ mit $x=(a,b)$ sowie [mm] $a'\in [/mm] A$, [mm] $c\in [/mm] C$ mit $x=(a',c)$.
> Doch wie komme ich jetzt zur Durchschnittsmenge von B und
> C? Weil ich kann ja nicht sagen, dass b,c automatisch
> Elemente aus [mm]B\capC[/mm] sind oder? Da b und c ja Elemente von B
> und C sind.
Wegen $(a,b)=x=(a',c)$ gilt (a=a' und) b=c.
Kommst du damit weiter?
Viele Grüße
Tobias
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