Beweis mit Binomialkoeffizient < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo soll folgenden Formel mit vollständiger induktion beweisen.
[mm] \summe_{k=0}^{n} k*\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] n*2^n^-^1
[/mm]
bin also so vorgegangen
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}k*\vektor{n+1 \\ k}=\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n+1 \\ k}+(n+1)*\vektor{n+1 \\ n+1}=
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k-1}+\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k}+ [/mm] (n+1)=
[mm] \summe_{k=0}^{n}(k-1+1)\vektor{n \\ k-1}+(n*2^n^-^1)+(n+1)=
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}(k-1)\vektor{n \\ k-1}+\summe_{k=0}^{n}1*\vektor{n \\ k-1}+(n*2^n^-^1)+(n+1)
[/mm]
sollte ja auf [mm] (n+1)*2^n [/mm] kommen,
blicke aber nicht durch.
vielleicht könnte mir jemand weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo soll folgenden Formel mit vollständiger induktion
> beweisen.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} k*\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]n*2^n^-^1[/mm]
>
> bin also so vorgegangen
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}k*\vektor{n+1 \\ k}=\blue{\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n+1 \\ k}}+(n+1)*\vektor{n+1 \\ n+1}=[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k-1}+\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k}+[/mm] (n+1)=
hier musst Du vielleicht ein bisschen vorsichtig sein, wenn Du das so schreibst:
[mm] $$\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k-1}\,.$$ [/mm]
Denn für $k=0$ steht da [mm] $0*\red{{n \choose -1}}$... [/mm]
Ich würde das schreiben:
[mm] $$\blue{\sum_{k=0}^n k{n+1\choose k}}=0*{n+1 \choose 0}+\sum_{k=1}^n k\left\{{n\choose k-1}+{n\choose k}\right\}=\left(\sum_{k=1}^n k{n\choose k-1}\right)+\underbrace{\sum_{k=1}^{n} k{n\choose k}}_{=\sum\limits_{k=0}^{n} k{n\choose k}}=...$$
[/mm]
aber im Prinzip steht nachher das gleiche da wie bei Dir. Ich vermeide es nur, Ausdrücke der Form ${p [mm] \choose [/mm] -1}$ zu verwenden...
Und das ganze wird übersichtlicher, wenn man die Aufgabenstellung in der äquivalenten Form:
[mm] $${{{\sum}\limits_{\blue{k=1}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!n}}}\;\;\;\;\;\; [/mm] k*{n [mm] \choose [/mm] k}= [mm] n*2^{n-1}$$
[/mm]
schreibt.
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(k-1+1)\vektor{n \\ k-1}+(n*2^n^-^1)+(n+1)=[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}(k-1)\vektor{n \\ k-1}+\summe_{k=0}^{n}1*\vektor{n \\ k-1}+(n*2^n^-^1)+(n+1)[/mm]
>
>
> sollte ja auf [mm](n+1)*2^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
kommen,
> blicke aber nicht durch.
> vielleicht könnte mir jemand weiterhelfen.
an und für sich ist das okay. Wenn Du es mal so aufschreibst, wie ich es vorgeschlagen habe, dann steht am Ende nach einer analogen Rechnung da:
$$ =\summe_{k=1}^{n}(k-1){n \choose k-1}+\blue{\summe_{k=1}^{n}{n \choose k-1}}+(n\cdot{}2^n^-^1)+(n+1)=\underbrace{\summe_{m=0}^{n-1}m{n \choose m}}_{=\left(\summe_{m=0}^{n}m{n \choose m}\right)-n}+(n\cdot{}2^n^-^1)+(n+1)+\blue{\underbrace{\summe_{m=0}^{n-1}{n \choose m}}_{=\left(\summe_{m=0}^{n}{n \choose m}\right)-1} $$
$$=n*2^{n-1}-n+n*2^{n-1}+n+1+\summe_{m=0}^{n}{n \choose m}-1=2*n*2^{n-1}+\sum_{m=0}^n {n \choose m}=n*2^{n}+\sum_{m=0}^n {n \choose m}\,.$$
Entweder überlegst Du Dir nun, inwiefern Dir nun $2^n=(1+1)^n$ weiterhilft, oder Du überlegst Dir folgendes:
Wissen bisher:
Es gilt $$\summe_{k=0}^{n+1}k\cdot{}{n+1 \choose k}=n*2^{n}+\sum_{m=0}^n {n \choose m}\,.$$
Zu zeigen ist:
$$\summe_{k=0}^{n+1}k\cdot{}{n+1 \choose k} \overset{!}{=} (n+1)*2^n\,.$$
Um den Beweis oben zu vollenden, ist nun also noch $n*2^{n}+\sum_{m=0}^n {n \choose m}=(n+1)*2^n$ zu beweisen.
(Was äquivalent ist zu $\sum_{m=0}^n {n \choose m}=2^n\,.$)
Bekommst Du das nun noch hin? (Bzw. ggf. stöber' mal, ob das nicht eine andere Übungsaufgabe war.)
Gruß,
Marcel
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