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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussagen per vollständiger Induktion:
Sei n,m Element N mit m [mm] \le [/mm] n, x Element R \ {1}. Dann gilt:
[mm] \summe_{k=m}^{n-1} x^k [/mm] = [mm] (x^m [/mm] - [mm] x^n)/(1-x) [/mm] |
Hi,
ich sollen oben genannte Aufgabe beweisen, komme irgendwie nur nicht weiter.
Klar ist mir, dass laut Definition wenn bei einem Summenzeichen die untere Grenze größer als die obere Grenze ist, dann ist das eine "leere Summe" handelt und diese per Definition gleich Null ist.
Kann mir jemand mit einem Ansatz helfen, irgendwie stehe ich auf dem Schlauch.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 19.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Beweisen Sie folgende Aussagen per vollständiger
> Induktion:
> Sei n,m Element N mit m [mm]\le[/mm] n, x Element R \ {1}. Dann
> gilt:
> [mm]\summe_{k=m}^{n-1} x^k[/mm] = [mm](x^m[/mm] - [mm]x^n)/(1-x)[/mm]
> Hi,
> ich sollen oben genannte Aufgabe beweisen, komme irgendwie
> nur nicht weiter.
> Klar ist mir, dass laut Definition wenn bei einem
> Summenzeichen die untere Grenze größer als die obere Grenze
> ist, dann ist das eine "leere Summe" handelt und diese per
> Definition gleich Null ist.
>
> Kann mir jemand mit einem Ansatz helfen, irgendwie stehe
> ich auf dem Schlauch.
Waehle $m$ fest und mach Induktion nach $n$. Fuer $n = m$ hast du wie du schon bemerkt hast links die leere Summe, also $0$, und rechts hast du ebenfalls $0$.
Gilt die Aussage fuer ein $n$, so ist [mm] $\sum_{k=m}^{(n+1)-1} x^k [/mm] = [mm] \sum_{k=m}^{n-1} x^k [/mm] + [mm] x^n$. [/mm] Per Induktionsvoraussetzung ist das [mm] $\frac{x^m - x^n}{1 - x} [/mm] + [mm] x^n$. [/mm] Bring das mal auf einen Bruch und vereinfache es.
LG Felix
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