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| Aufgabe | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n E N mit n =/> 1 gilt:
a) 2 + 4 + 6 + ... + 2*n = n*(n + 1)
b) 3 + 7 + 11 + ... + (4*n - 1) = n*(2*n + 1)
c) 1 + 4 + 7 + ... + (3*n-2) = 1/2´* n*(3*n - 1) |
Hallo
Ich verstehe den kompletten Induktionsschluss nicht, auch nicht anhand von Beispielaufgaben. Ich verstehe die komplette Zeile mit dem k+1 und die logik darin nicht, ich wäre dankbar wenn mir jemand dieses erklären könnte.
Grüße Kawa
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Live4Life,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zu a)
> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n E
> N mit n =/> 1 gilt:
Ich nehme an, dass hier $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ mit $\ n [mm] \ge [/mm] 1 $ gemeint ist.
>
> a) 2 + 4 + 6 + ... + 2*n = n*(n + 1)
Es soll mit Hilfe der vollst. Induktion gezeigt werden, dass das eine wahre Aussage ist.
Wir machen also den Induktionsanfang und prüfen die Gleichung für $\ n = 1 $
$\ 2(1) = 1*(1+1) = 2 $
Offensichtlich wahr.
Nun prüfen wir (in der Regel prüft man nur für 1 und geht dann schon über zum Induktionsschritt) das Ganze noch für $\ n =2$.
$\ 2 + 2(2) = 2(2+1) = 6 $
Ebenfalls wahr.
Nun folgt der Induktionsschritt.
Wir vermuten die obige Aussage sei für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ mit $\ n [mm] \ge [/mm] 1 $ wahr.
Wir behaupten nach dieser Vermutung, dass die Aussage auch für jedes $\ n'=n+1$ wahr sein muss.
Kannst du dir vorstellen, warum? Tipp: Denk an die eigenschaften natürlicher Zahlen!
Induktionsschritt: $\ n [mm] \to [/mm] n+1 $
Nun ist unser letztes Glied der Summe nicht mehr $\ 2n $, sondern $\ 2(n+1)$.
Wenn hier etwas unklar ist, frag bitte!
Schauen wir uns also die Gleichung nochmal an:
$\ 2 + 4 + 6 + ... + 2*n = n*(n + 1) $
Da unsere Summe links nun bis $\ 2(n+1) $ geht, müssen wir auf beiden Seiten $\ 2(n+1)$ addieren, sonst würden wir die Gleichung ja 'zerstören' (schwammig ausgedrückt).
Also:
$\ 2 + 4 + 6 + ... + 2*n \ [mm] \green{+ 2(n+1)} [/mm] = n*(n + 1)\ [mm] \green{+ 2(n+1)}$
[/mm]
Was wir nun machen, ist nichts, aussere gewöhnliche Umformungen/Vereinfachungen, um die Gleichung auf die Ursprüngliche Form zu bringen.
$\ 2 + 4 + 6 + ... + 2*n + 2(n+1) = [mm] \green{n}*\blue{(n + 1)} [/mm] + [mm] \green{2}\blue{(n+1)}$ [/mm] wir klammern nun aus....
$\ 2 + 4 + 6 + ... + 2*n + 2(n+1) = [mm] \blue{(n+1)}$$\ \underbrace{\biggl(\green{ n + 2} \biggr)}_{=(n+1)+1}$ [/mm]
Fertig 
Denn: Setzen wir in die Gleichung $\ 2 + 4 + 6 + ... + 2*n = n*(n + 1) $ für jedes $\ n $ ein $\ n+1 $ ein, so erhalten wir..
$\ 2 + 4 + 6 + ... + 2*(n+1) = (n+1)*(n + 1 + 1) $
Und das ist das selbe, wie das, was wir eben in unserer Rechnung ermittelt haben.
> b) 3 + 7 + 11 + ... + (4*n - 1) = n*(2*n + 1)
> c) 1 + 4 + 7 + ... + (3*n-2) = 1/2´* n*(3*n - 1)
> Hallo
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> Ich verstehe den kompletten Induktionsschluss nicht, auch
> nicht anhand von Beispielaufgaben. Ich verstehe die
> komplette Zeile mit dem k+1 und die logik darin nicht, ich
> wäre dankbar wenn mir jemand dieses erklären könnte.
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> Grüße Kawa
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich hoffe du nimmst dir ein wenig Zeit, um den Beweis zu verstehen. Die Idee ist immer die Selbe und die Umformungen sind in der Regel auch ähnlich. Wenn du diese Aufgabe erstmal verstanden hast, kannst du die anderen mit Sicherheit selbst lösen!
Aller Anfang ist schwer  Einfach Fragen, wenn was unklar ist.
Grüße
ChopSuey
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