Beweis/ordnung/neutrales < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mo 17.09.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei (G,*) eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung |G| mit neutralem Element e. Dann gilt [mm] a^{|G|} [/mm] = e [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G
Hinweis: Überprüfe Bijektivität von [mm] \phi [/mm] : G->G , [mm] \phi(x)=ax [/mm] |
So die aufgabe wurde von Tutor folgendermaßen gelöst:
Sei A [mm] \in [/mm] G. Die Abbildung [mm] \phi [/mm] : G-> G, [mm] \phi(x)=ax
[/mm]
Injektivität:
Angenommen [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \phi(y) [/mm] => ax = ay
Zuzeigen: x= y
Beweisführung: x= [mm] a^{-1} [/mm] a x= [mm] a^{-1} [/mm] (a x) = [mm] a^{-1} [/mm] (ay) = [mm] a^{-1} [/mm] a y = y
Surjektiv:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] G ist x= [mm] a(a^{-1} [/mm] x) = [mm] \phi(a^{-1} [/mm] x)
=>BIJEKTIV
Wegen Surjektivität gilt [mm] G=\{ax|x \in G\}
[/mm]
=> [mm] \produkt_{x \in G} [/mm] x= [mm] \produkt_{x \in G} ax=a^{|G|} \produkt_{x \in G} [/mm] x
-> Inverse anwenden .
Ich verstehe einen Schritt nicht: [mm] \produkt_{x \in G} [/mm] ax = [mm] a^{|G|} \produkt_{x \in G} [/mm] x
Und warum brauchen wir die Injektivität/Bijektivität, da wir nur die surjektivität nutzen.
Kann mir den wer erklären?
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Sei (G,*) eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung |G| mit
> neutralem Element e. Dann gilt [mm]a^{|G|}[/mm] = e [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G
>
> Hinweis: Überprüfe Bijektivität von [mm]\phi[/mm] : G->G ,
> [mm]\phi(x)=ax[/mm]
> So die aufgabe wurde von Tutor folgendermaßen gelöst:
>
> Sei A [mm]\in[/mm] G. Die Abbildung [mm]\phi[/mm] : G-> G, [mm]\phi(x)=ax[/mm]
>
> Injektivität:
> Angenommen [mm]\phi(x)[/mm] = [mm]\phi(y)[/mm] => ax = ay
> Zuzeigen: x= y
> Beweisführung: x= [mm]a^{-1}[/mm] a x= [mm]a^{-1}[/mm] (a x) = [mm]a^{-1}[/mm] (ay)
> = [mm]a^{-1}[/mm] a y = y
>
>
> Surjektiv:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] G ist x= [mm]a(a^{-1}[/mm] x) = [mm]\phi(a^{-1}[/mm] x)
>
> =>BIJEKTIV
>
> Wegen Surjektivität gilt [mm]G=\{ax|x \in G\}[/mm]
> => [mm]\produkt_{x \in G}[/mm] x= [mm]\produkt_{x \in G} ax=a^{|G|} \produkt_{x \in G}[/mm] x
> -> Inverse anwenden .
>
>
> Ich verstehe einen Schritt nicht: [mm]\produkt_{x \in G}[/mm] ax =
> [mm]a^{|G|} \produkt_{x \in G}[/mm] x
> Und warum brauchen wir die Injektivität/Bijektivität,
> da wir nur die surjektivität nutzen.
Du benutzt eben nicht nur die Surjektivität, sondern auch die Injektivität:
Ich habe die Stelle, wo das passiert, mal fett und rot markiert. Ist Dir klar,
dass das an dieser Stelle passiert? Denn wie will man mit einer
Umkehrfunktion arbeiten dürfen, wenn man noch nicht mal weiß, ob's denn
eine gibt?
> Kann mir den wer erklären?
Und zu der Gleichung:
[mm] $$\produkt_{x \in G}ax=a^{|G|}*\produkt_{x \in G}x:\;$$
[/mm]
Nun ja, dort steht ein endliches Produkt [mm] ($G\,$ [/mm] ist ENDLICH), und die
Faktoren kommutieren [mm] ($G\,$ [/mm] ist ABELSCH), daher gilt
[mm] $$\produkt_{x \in G}(ax)=\Big(\produkt_{x \in G}a\Big)\produkt_{x \in G}x$$
[/mm]
Und was ist denn nun [mm] $\produkt_{x \in G}a$?
[/mm]
P.S.
Wenn's unklar ist, mach's Dir mal in [mm] $(\IR,*)$ [/mm] wenigstens bei endlichen
Produkten klar, denn anders rechnen tut man dort i.w. auch nicht
(natürlich ist [mm] $\IR$ [/mm] NICHT endlich!):
Wie würdest Du etwa [mm] $\produkt_{k=1}^n (2*x_k)$ [/mm] umschreiben können
- in vollkommener rechnerischer Analogie?
[mm] ($x_k$ [/mm] reelle Zahlen für [mm] $k=1,\ldots,n\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 17.09.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> $ [mm] \produkt_{k=1}^n (2\cdot{}x_k) [/mm] $
[mm] =\produkt_{k=1}^n [/mm] 2 [mm] \produkt_{k=1}^n x_k
[/mm]
= [mm] 2^n \produkt_{k=1}^n x_k
[/mm]
Jetzt ist es denke ich klar.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Mo 17.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
> > [mm]\produkt_{k=1}^n (2\cdot{}x_k)[/mm]
> [mm]=\produkt_{k=1}^n[/mm] 2 [mm]\produkt_{k=1}^n x_k[/mm]
> = [mm]2^n \produkt_{k=1}^n x_k[/mm]
>
> Jetzt ist es denke ich klar.
> Liebe Grüße
okay. Ich denke auch, dass Du das nun verstanden hast, dass
[mm] $$\produkt_{x \in G}a=a^{|G|}$$
[/mm]
ist. Wäre es immer noch unklar, hätte ich schlimmstenfalls noch einen
Vorschlag gemacht:
Setze [mm] $n:=|G|\,,$ [/mm] und betrachte [mm] $G\,$ [/mm] in der Form
[mm] $G=\{x_1,\,\ldots,x_n\}\,.$ [/mm] (Formal macht man sowas wie [mm] $\phi:\{1,...,n\} \to [/mm] G$ injektiv (und damit hier auch surjektiv bzw. bijektiv) zu benutzen.
(Entweder begründet man die Existenz einer solchen Abbildung [mm] $\phi$
[/mm]
irgendwie anders, oder man gibt einen "konstruktiven Algorithmus" an.)
Dann ist [mm] $\produkt_{x \in G}a=\produkt_{1 \le m \le n:\;\;x_m \in G}a=\produkt_{\ell=1}^n a=a^n=a^{|G|}\,,$ [/mm] wobei die erste Gleichheit
mit der Bijektivität von [mm] $\phi$ [/mm] zu tun hat - die zweite mit der Injektivität.
Wie man das noch viel schöner aufschreiben könnte, müßte ich mir
überlegen (irgendwas stört mich hierdran nämlich noch, ich weiß nur nicht,
was). Aber eventuell schreibt das auch jemand anderes. Wobei es ja eh
nicht so wichtig ist, da Du das Entscheidende ja verstanden hast!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
