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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Beweis von Kern
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Beweis von Kern: Zeige: Vektor liegt im Kern
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 So 09.12.2018
Autor: asg

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Es seien $A \in {\IK}^{m \times n}}, b \in {\IK}^m$ und $x_1, x_2\in {\IK}^n$, so dass
$$A \cdot x_1 = A \cdot x_2=b$$
1) Zeige, f. a. $z_1 \in Kern(A)$ gilt $A \cdot (x_1+z_1)=b$.

2) Zeige, $z_2=x_1-x_2$ liegt in $Kern(A)$

Hallo zusammen,

ich bin etwas irritiert über den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben. Sind die Beweise wirklich so einfach zu führen oder übersehe ich etwas?

Mein Beweis ist wie folgt:

zu 1)
$A \cdot (x_1+z_1)= A \cdot  x_1 + A \cdot z_1 \stackrel{Def Kern}{=} A \cdot x_1 + 0= A \cdot x_1 =b$.

zu 2)
$A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow z_2=x_1-x_2=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) $.

Ich werde die Beweise etwas sauberer aufschreiben, aber eigentlich sollten sie doch richtig sein, oder?

Danke vorab

Viele Grüße

Asg


        
Bezug
Beweis von Kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:20 Mo 10.12.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ich bin etwas irritiert über den Schwierigkeitsgrad der
> Aufgaben. Sind die Beweise wirklich so einfach zu führen
> oder übersehe ich etwas?

1: Ja, die Beweise sind einfach zu führen
2: Ja, du übersiehst etwas…

>  
> Mein Beweis ist wie folgt:
>  
> zu 1)
>  [mm]A \cdot (x_1+z_1)= A \cdot x_1 + A \cdot z_1 \stackrel{Def Kern}{=} A \cdot x_1 + 0= A \cdot x_1 =b[/mm].

[ok]
  

> zu 2)
>  [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow z_2=x_1-x_2=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].

Gruselig!
Warum sollte die erste Implikation gelten?
Sind etwa alle Matrizzen injektiv? Ich verrate dir die Antwort: Nein!

Du weißt doch: [mm] $Ax_1 [/mm] = [mm] Ax_2$ [/mm]  
Nun subtrahiere mal auf beiden Seiten [mm] $Ax_2$… [/mm]

Gruß,
Gono

> Ich werde die Beweise etwas sauberer aufschreiben, aber
> eigentlich sollten sie doch richtig sein, oder?
>  
> Danke vorab
>  
> Viele Grüße
>  
> Asg
>  


Bezug
                
Bezug
Beweis von Kern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:12 Mo 10.12.2018
Autor: asg

Guten Morgen Gono,

>  1: Ja, die Beweise sind einfach zu führen
>  2: Ja, du übersiehst etwas…

> > zu 2)
>  >  [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow z_2=x_1-x_2=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
>  
> Gruselig!
>  Warum sollte die erste Implikation gelten?
>  Sind etwa alle Matrizzen injektiv? Ich verrate dir die
> Antwort: Nein!
>  

Ups! Die Implikation ist in der Tat gruselig. Sie gilt selbst bei reinen reellen Zahlen nicht. $A$ könnte z. B. der Nullvektor oder die Einheitsvektor sein.

> Du weißt doch: [mm]Ax_1 = Ax_2[/mm]  
> Nun subtrahiere mal auf beiden Seiten [mm]Ax_2[/mm]…

Danke für den Tipp.
[mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Leftrightarrow A \cdot x_1 - A \cdot x_2 = 0 \Leftrightarrow A \cdot (x_1-x_2)=0 \Rightarrow A \cdot (z_2)=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].


Nun müsste es korrekt sein, richtig?

Viele Grüße
Asg

Bezug
                        
Bezug
Beweis von Kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Mo 10.12.2018
Autor: fred97


> Guten Morgen Gono,
>  
> >  1: Ja, die Beweise sind einfach zu führen

>  >  2: Ja, du übersiehst etwas…
>  
> > > zu 2)
>  >  >  [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow z_2=x_1-x_2=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
>  
> >  

> > Gruselig!
>  >  Warum sollte die erste Implikation gelten?
>  >  Sind etwa alle Matrizzen injektiv? Ich verrate dir die
> > Antwort: Nein!
>  >  
>
> Ups! Die Implikation ist in der Tat gruselig. Sie gilt
> selbst bei reinen reellen Zahlen nicht. [mm]A[/mm] könnte z. B. der
> Nullvektor oder die Einheitsvektor sein.
>  
> > Du weißt doch: [mm]Ax_1 = Ax_2[/mm]  
> > Nun subtrahiere mal auf beiden Seiten [mm]Ax_2[/mm]…
>  
> Danke für den Tipp.
>  [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Leftrightarrow A \cdot x_1 - A \cdot x_2 = 0 \Leftrightarrow A \cdot (x_1-x_2)=0 \Rightarrow A \cdot (z_2)=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
>  
>
> Nun müsste es korrekt sein, richtig?

Ja, jetzt stimmts.

>  
> Viele Grüße
>  Asg


Bezug
                                
Bezug
Beweis von Kern: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:44 Mo 10.12.2018
Autor: asg

Guten Morgen zusammen,

> > > Du weißt doch: [mm]Ax_1 = Ax_2[/mm]  
> > > Nun subtrahiere mal auf beiden Seiten [mm]Ax_2[/mm]…
>  >  
> > Danke für den Tipp.
>  >  [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Leftrightarrow A \cdot x_1 - A \cdot x_2 = 0 \Leftrightarrow A \cdot (x_1-x_2)=0 \Rightarrow A \cdot (z_2)=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
>  
> > Nun müsste es korrekt sein, richtig?
>  
> Ja, jetzt stimmts.
>  >  

Vielen Dank euch beiden!

Liebe Grüße

Asg

Bezug
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