Beweis von Mengenoperationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mi 26.10.2005 | | Autor: | moonylo |
Hallo,
ich hab gerade mit dem Studium angefangen und hätte da mal eine Frage. Und zwar gibt es die Aufgabe:
Beweise: [mm] (\cal{A} [/mm] sei eine Menge)
[mm] \cal{A} \cup \emptyset [/mm] = [mm] \cal{A}.
[/mm]
Ich hab im Prinzip zwei Lösungswege versucht und bin auf folgendes gekommen:
1) So bin ich ohne Unterlagen drauf gekommen:
[mm] \cal{A} \cup \emptyset [/mm] = [mm] \cal{A} [/mm] ist genau dann wahr, wenn [mm] \emptyset \subset \cal{A}.
[/mm]
Behauptung: [mm] \emptyset \subset \cal{A}
[/mm]
Beweis: [mm] \emptyset \subset \cal{A} [/mm] ist genau dann wahr, wenn für jedes x [mm] \in \emptyset [/mm] gilt: x [mm] \in \cal{A}.
[/mm]
Für alle Objekte x gilt aber: x [mm] \not\in \emptyset.
[/mm]
(Durch Konvention?): Wenn es garkein x gibt, ist die Aussage auch wahr.
Daher ist [mm] \emptyset \subset \cal{A} [/mm] wahr und damit auch [mm] \cal{A} \cup \emptyset [/mm] = A.
2) Dieser Lösungsweg ist mit spickeln wie eine ähnliche Mengenoperation bewiesen wurde:
Nach "Gesetzen" der Mengenlehre (könnte ich hinzufügen aber das ist die basis und kostet nur zeit :) ) kann man das Ganze auch umschreiben:
A [mm] \cup \emptyset \subset \cal{A} [/mm] und [mm] \cal{A} \subset \cal{A} \cup \emptyset.
[/mm]
Nach dem nächsten "Gesetz" ist [mm] \emptyset \subset \cal{A}.
[/mm]
( Für alle x mit x [mm] \in \emptyset [/mm] gilt: x [mm] \in \cal{A}.
[/mm]
Da es kein x mit x [mm] \in \emptyset [/mm] gibt ist die Aussage wahr.)
Dadurch bleibt nur noch [mm] \cal{A} \subset\cal{A} [/mm] über, in beiden Möglichkeiten, was wahr ist.
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Ich frag mich erstens, ob die erste Lösung korrekt ist (unzureichend vielleicht für die Mathematik?) und was ein guter "Aufbau" für einen Beweis ist. Soweit ich das richtig verstanden hat versucht man im Endeffekt auf "und" und "oder" Aussagen zu kommen?
Ist ja nicht das einzige was ich gerne beweisen wollte bzw müsste. Ich frag mich sozusagen: Wie geh ich an so etwas dran?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> ich hab gerade mit dem Studium angefangen und hätte da mal
> eine Frage. Und zwar gibt es die Aufgabe:
>
> Beweise: [mm](\cal{A}[/mm] sei eine Menge)
>
> [mm]\cal{A} \cup \emptyset[/mm] = [mm]\cal{A}.[/mm]
>
Hallo,
Um die Gleichheit von Mengen zu zeigen, C=D, zeigt man C [mm] \subseteq [/mm] D und D [mm] \subseteq [/mm] C.
Das geht so:
[mm] "\subseteq": [/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] C ==> ... ... ... ... ==> x [mm] \in [/mm] D
Also ist C [mm] \subseteq [/mm] D
In Deinem Beispiel.
Zu zeigen: A [mm] \cup \emptyset \subseteq [/mm] A
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup \emptyset
[/mm]
==> x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in \emptyset
[/mm]
Die leere Menge enthält kein Element.
==> x [mm] \in [/mm] A
Also ist A [mm] \cup \emptyset \subseteq [/mm] A
Gruß v. Angela
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