Beweise mit Primzahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Sa 14.10.2006 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | 1.) Zeigen Sie, dass für jede Zahl n>=3 die Menge {n!+2,n!+3,...,n!+n} keine Primzahl enthält!
2.) Zeigen Sie, dass außer der 2 keine Zahl der Forn n³+1 eine Primzahl ist. |
Bei beiden Aufgabenstellungen scheitere am selben Problem:
um diese Behauptungen zu beweisen, muss ich doch letztendlich zeigen, dass die jeweiligen Zahlen noch einen weiteren Teiler als 1 und sich selbst haben. Aber irgendwie gelingt es mit nicht, das formell und allgemein auszudrücken. Hat vielleicht jemand einen Ansatz für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Teil 1 ist doch einfach.
Betrachte eine beliebige Zahl aus der Menge, also $n!+i$ Schreibt man die Fakultät aus, so hat man sowas wie $n!= 1*2*3*...*(i-1)*i*(i*1)*...*n$
Und dann ist
$n!+i=1*2*3*...*(i-1)*i*(i*1)*...*n +i=(1*2*3*...*(i-1)*(i*1)*...*n +1)*i $
(Beachte, daß das i in der Fakultät herausgezogen wurde!)
Somit gilt:
$n!+i=i*(n!_i+1)$
wobei $n!_i$ bedeuten soll, daß der Faktor i in der Fakultät fehlt.
Mit anderen Worten, die Zahl ist immer durch i teilbar, also nicht prim!
zur zweiten:
Ich hab mir was ausgedacht: Setze n=(m-1). Dann ist n³=m³-3m²+3m-1. Dann ist n³+1= m³-3m²+3m, und das ist durch m teilbar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Sa 14.10.2006 | | Autor: | sorry_lb |
Hab ganz lieben Dank, werd das jetz in Ruhe nochma durchschauen.
Versteh einfach nich, wie man da so schnell durchsteigen kann, ich hab schon stunden daran gesessen und bin verzweifelt *g
liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Och, das kommt mit der Zeit.
Ich meine, das erste ist nicht wirklich schwer, schreib einfach mal ein paar Beispiele hin, und dann siehst du das eigentlich sofort.
Was die zweite Aufgabe angeht, mich stört daran irgendwie dieses +1, denn man will ja was, wo man einen Faktor ausklammern kann. Als cih dann das n³ angeschaut habe, kam mir eben die Idee, da irgendwas mit binomischen Formeln zu machen, und tatsächlich, die benutzte hat am Ende tatsächlich ein -1 da stehen. Also, hier braucht man wirklich ne Idee oder etwas Spieltrieb...
|
|
|
|
