Beweise vollständigen m. R. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Do 04.06.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | | Sei M die menge aller beschränkten Folgen reeller Zahlen. Auf ihr definieren wir die Metrik d(x,y)=sup{ [mm] \left| x_{n}-y_{n} \right|; [/mm] n [mm] \in\IN}, [/mm] wobei [mm] x=(x_{n})\infty_{n=1} [/mm] und [mm] y=(y_{n})\infty_{n=1} [/mm] zwei beliebige Elemente aus M sind. Beweisen Sie, dass (M,d) ein vollständiger metrischer Raum ist. |
Hallo,
ich wäre um einen Tipp oder eine Idde sehr dankbar, um diese Aufgabe lösen zu können. Ich finde hier keinen wirklichen Ansatz, um die Lösung anzugehen.
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:34 Do 04.06.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | | Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass falls [mm] x^k=(x^k_n)^\infty_{n=1]}, [/mm] k=1,2,3,... eine Cauchy-Folge von elementen aus M ist, für jedes fixierte k auch [mm] x^k_1, x^k_2, x^k_3, [/mm] ... eine Cauchy-Folge reeller Zahlen ist. |
habe das noch als hinweis gefunden, was mir das Ganze aber auch nciht klarer werden lässt..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 06.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Do 04.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei M die menge aller beschränkten Folgen reeller Zahlen.
> Auf ihr definieren wir die Metrik [mm]d(x,y)=sup\{ \left| x_{n}-y_{n} \right|; n \in\IN\},[/mm] wobei [mm]x=(x_{n})\infty_{n=1}[/mm] und
> [mm]y=(y_{n})\infty_{n=1}[/mm] zwei beliebige Elemente aus M sind.
> Beweisen Sie, dass (M,d) ein vollständiger metrischer Raum
> ist.
> Hallo,
> ich wäre um einen Tipp oder eine Idde sehr dankbar, um
> diese Aufgabe lösen zu können. Ich finde hier keinen
> wirklichen Ansatz, um die Lösung anzugehen.
Dass $(M,d)$ ein metrischer Raum ist, brauchst du wohl nicht nachzuweisen. Für die Vollständigkeit musst du zeigen, dass jede Cauchyfolge in M einen Grenzwert in M hat.
Die Elemente von M sind beschränkte Folgen, also ist eine Cauchyfolge [mm] $(c_m)$ [/mm] in M eine Folge von Folgen, das heisst jedes Folgenelement [mm] $c_k$ [/mm] ist eine beschränkte Folge. Nennen wir die einzelnen Folgenglieder der Folge [mm] $(c_k)$ [/mm] einfach [mm] $c_{k,n}$. [/mm] Da [mm] $(c_m)$ [/mm] eine Cauchyfolge ist, gibt es für vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein N, sodass
[mm] d(c_k,c_l) < \varepsilon [/mm], wenn $k,l > [mm] N\,$.
[/mm]
Wenn du nun eine Folge [mm] $f\in [/mm] M$ angeben kannst, gegen die die Cauchyfolge [mm] $(c_m)$ [/mm] konvergiert, also ein N, sodass
[mm] d(c_k,f) < \varepsilon [/mm] für [mm] $k>N\,$,
[/mm]
dann hast du gezeigt, dass die Cauchyfolge konvergiert.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
