Beweise zur Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 So 18.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | | Sei (V,+,K) ein Vektorraum über K der Dimension n>1. Unterräume seien W [mm] \subseteq [/mm] V und U [mm] \subset [/mm] V mit dimU=n-1. Dann ist dimW [mm] \cap [/mm] U [mm] \ge [/mm] dimW-1. Beweisen Sie diese Aussage. |
Ok also ich hätte angefangen, dass wenn $W [mm] \subseteq [/mm] V$ gilt, dann muss die Dimension von W entweder kleiner oder gleich V sein oder? also $dimW [mm] \le [/mm] n$
Muss ich das noch irgendwie begründen? Wenn ja, wie mache ich soetwas?
$dimU=n-1$
Weiter weiß ich allerdings nicht. Ich kann ja keine Aussagen über $dimW+U$ treffen oder?
Muss ich mit der Dimensionsformel fortfahren?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 18.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei (V,+,K) ein Vektorraum über K der Dimension n>1.
> Unterräume seien W [mm]\subseteq[/mm] V und U [mm]\subset[/mm] V mit
> dimU=n-1. Dann ist dimW [mm]\cap[/mm] U [mm]\ge[/mm] dimW-1. Beweisen Sie
> diese Aussage.
>
> Ok also ich hätte angefangen, dass wenn [mm]W \subseteq V[/mm]
> gilt, dann muss die Dimension von W entweder kleiner oder
> gleich V sein oder? also [mm]dimW \le n[/mm]
> Muss ich das noch
> irgendwie begründen? Wenn ja, wie mache ich soetwas?
Nein, das musst du nicht begruenden.
> [mm]dimU=n-1[/mm]
> Weiter weiß ich allerdings nicht. Ich kann ja keine
> Aussagen über [mm]dimW+U[/mm] treffen oder?
> Muss ich mit der Dimensionsformel fortfahren?
Nun, es gibt zwei Moeglichkeiten: entweder gilt $W [mm] \subseteq [/mm] U$. In dem Fall ist eh alles ganz einfach. Andernfalls ist $W [mm] \not\subseteq [/mm] U$, womit $W + U$ eine echte Obermenge von $U$ ist. Wegen [mm] $\dim [/mm] U = n - 1$ muss $W + U = V$ sein, also [mm] $\dim(W [/mm] + U) = n$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:35 So 18.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok danke das habe ich erst einmal verstanden.
Aber wie komme ich jetzt auf die Gleichung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 18.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok ich probiers dann mal:
1. Möglichkeit: wenn $W [mm] \subseteq [/mm] U$
dann ist $dim(W+U)=dimU$ oder?
$n-1=n-1+dimW-dim(W [mm] \cap [/mm] U)$
$dim(W [mm] \cap [/mm] U)=dimW$
2. Möglichkeit:
wenn $W [mm] \not\subseteq [/mm] U$
dann ist $dim(W+U)=n$
$n=n-1+dimW-dim(W [mm] \cap [/mm] U)$
$dim(W [mm] \cap [/mm] U)=dimW-1$
Und dann kann man dann einfach verallgemeinern, indem man schreibt:
$dim(W [mm] \cap [/mm] U) [mm] \ge [/mm] dim W-1$?
Allerdings kann doch maximal $dimW [mm] \cap [/mm] U=dim W$ werden oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Mo 19.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok ich probiers dann mal:
> 1. Möglichkeit: wenn [mm]W \subseteq U[/mm]
> dann ist
> [mm]dim(W+U)=dimU[/mm] oder?
> [mm]n-1=n-1+dimW-dim(W \cap U)[/mm]
> [mm]dim(W \cap U)=dimW[/mm]
Genau.
Allerdings haettest du das auch etwas einfacher machen koennen. Wegen $W [mm] \subseteq [/mm] U$ ist $W [mm] \cap [/mm] U = W$. Daraus folgt direkt [mm] $\dim(W \cap [/mm] U) = [mm] \dim [/mm] W$.
> 2. Möglichkeit:
> wenn [mm]W \not\subseteq U[/mm]
> dann ist [mm]dim(W+U)=n[/mm]
> [mm]n=n-1+dimW-dim(W \cap U)[/mm]
> [mm]dim(W \cap U)=dimW-1[/mm]
Genau.
> Und dann kann man dann einfach verallgemeinern, indem man
> schreibt:
> [mm]dim(W \cap U) \ge dim W-1[/mm]?
Ja.
> Allerdings kann doch maximal [mm]dimW \cap U=dim W[/mm] werden oder
> nicht?
Ja, kann es. Es ist also entweder gleich [mm] $\dim [/mm] W - 1$ oder [mm] $\dim [/mm] W$, je nachdem ob $W [mm] \not\subseteq [/mm] U$ gilt oder $W [mm] \subseteq [/mm] U$.
Eine schoene Interpretation ist uebrigens: wenn du zu einem homogenen linearen Gleichungssystem eine Gleichung hinzufuegst, dann bleibt die Dimension des Loesungsraum entweder gleich oder verringert sich um genau eins.
LG Felix
|
|
|
|
