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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 08.10.2007 | | Autor: | at2 |
| Aufgabe | gegeben ist a,b,c>0 und a+b+c=1
beweise dass.
[mm] \left( a + \bruch{1}{b} \right)\left( b + \bruch{1}{c} \right)\left( c + \bruch{1}{a} \right) \ge \left(\bruch{10}{3} \right)^3 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
kann bitte für mich jemand diese Aufgabe lösen !! Habe meine Haare schon deswegen zerrisen.Habe auch keinen Ansatz dafür gefunden. Weiss nur dass, das Gleichheitzeichen gilt wenn a=b=c = 1/3.
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Di 09.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wenn du
[mm] (a+\bruch{1}{b})(b+\bruch{1}{c})(c+\bruch{1}{a})
[/mm]
ausmultilplizierst, erhältst du:
[mm] abc+\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}
[/mm]
[mm] =abc+\bruch{bc+ac+ab}{abc}
[/mm]
[mm] =\bruch{(abc)²+bc+ac+ab}{abc}
[/mm]
Nimm jetzt mal bite an, dass a [mm] \ge [/mm] b [mm] \ge [/mm] c ist.
Dann gilt:
[mm] \bruch{(abc)²+bc+ac+ab}{abc}
[/mm]
[mm] \le\bruch{(abb)²+bb+ab+ab}{abc}
[/mm]
[mm] \le\bruch{(abb)²+b²+2ab}{abc}
[/mm]
[mm] \le\bruch{(aaa)²+a²+2aa}{abc}
[/mm]
[mm] \le\bruch{a^{6}+2a²}{abc}
[/mm]
[mm] =\bruch{a^{5}+2a}{bc}
[/mm]
Hilft das erstmal weiter? Ich selber hänge jetzt nämlich auch erstmal, daher lasse ich das mal als Mitteilung stehen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mi 10.10.2007 | | Autor: | at2 |
ich glaube du hast dich da beim Ausmultiplizieren ein fehler gemacht, es entstehe wesentlich viel mehr Terme. Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Blech |
> gegeben ist a,b,c>0 und a+b+c=1
> beweise dass.
> [mm]\left( a + \bruch{1}{b} \right)\left( b + \bruch{1}{c} \right)\left( c + \bruch{1}{a} \right) \ge \left(\bruch{10}{3} \right)^3[/mm]
Ich hab keine Ahnung, wie man das mit Schulwissen lösen soll.
Nicht mit Schulwissen haben wir hier eine Funktion [mm]f:(0,1)^3\to \IR[/mm] und wollen die Extrema unter der Nebenbedingung [mm]g(a,b,c):=a+b+c-1=0[/mm].
Dazu setzen wir den Gradienten [mm] $\nabla (f-\lambda [/mm] g) = 0$ und erhalten, daß [mm]a=b=c=\tfrac{1}{3}[/mm] das einzige Extremum ist. Wg. der Stetigkeit des Gradienten auf ganz [mm] $(0,1)^3$ [/mm] und weil [mm] $f\to \infty$ [/mm] an den Grenzen des Definitionsbereichs, ist es ein absolutes Minimum, und damit gilt die Abschätzung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mi 10.10.2007 | | Autor: | at2 |
geht es nicht mit hochschulmathematik, denn ich bin noch nicht so weit, aber trotzdem vielen dank
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