Beweisen einer Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 So 20.05.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Zeigen sie : [mm] (\frac{n}{e})^n \le [/mm] n!
für n=1,2.. |
Das Bsp kam bei meiner Prüfung dran, ich würde gerne wissen wie es funktioniert.
Hätte man das mit vollständiger Induktion lösen sollen oder wie?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 So 20.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich wuerd das mit volst Induktion loesen. warum fragst du statt es einfach zu probieren?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 So 20.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Dachte es gibt vielleicht einen Trick ohne vollständige Induktion.
In der Prüfung habe ich es so versucht:
Zeigen sie : $ [mm] (\frac{n}{e})^n \le [/mm] $ n!
für n=1,2..
I.Anfang [mm] (\frac{1}{e}) \le [/mm] 1
I.Annahme: $ [mm] (\frac{n}{e})^n \le [/mm] $ n!
I.Schritt n-> n+1
[mm] (\frac{n+1}{e})^{n+1} [/mm] = [mm] (\frac{n+1}{e})^{n} [/mm] * [mm] (\frac{n+1}{e}) \le [/mm] n! [mm] *(\frac{n+1}{e})= \frac{(n+1)!}{e} [/mm] < (n+1)!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 So 20.05.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
dein Beweis ist zwar richtig, es fehlt ein Zwischenschritt:
$ [mm] (\frac{n+1}{e})^{n+1} [/mm] $ = $ [mm] (\frac{n+1}{e})^{n} [/mm] $ * $ [mm] (\frac{n+1}{e}) \le $(\frac{n.}{e})^{n} [/mm] $ * $ [mm] (\frac{n+1}{e}) \le [/mm] $<...
nach Induktionsvors.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 So 20.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Warum gilt der Schritt:
[mm] (\frac{n+1}{e})^n*\frac{n+1}{e} [/mm] <= [mm] (\frac{n}{e})^n [/mm] * [mm] \frac{n+1}{e}
[/mm]
? Das ist doch falsch? Oder habe ich das falsch gelesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 So 20.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
leduart meint, dass du hier
> [mm] (\frac{n+1}{e})^{n+1} = (\frac{n+1}{e})^{n} * (\frac{n+1}{e}) \le n! \cdot{}(\frac{n+1}{e})= \frac{(n+1)!}{e} < (n+1)![/mm]
nicht die IV nutzt.
> Warum gilt der Schritt:
> [mm](\frac{n+1}{e})^n*\frac{n+1}{e}[/mm] <= [mm](\frac{n}{e})^n[/mm] * [mm]\frac{n+1}{e}[/mm]
> ? Das ist doch falsch? Oder habe ich das falsch gelesen?
Da ist die Ausgabe bei leduart misslungen. So war das sicher nicht gemeint.
Soweit
[mm](\frac{n+1}{e})^{n+1} = (\frac{n+1}{e})^{n} * (\frac{n+1}{e})[/mm]
ist schon mal gut. Nun würde ich mit [mm]\bruch{n^n}{n^n}[/mm] multiplizieren. Nun kannst du die Induktionsvoraussetzung verwenden und dann geschickt Umformen.
Gruß
barsch
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