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| Aufgabe | Beweisen Sie für eine Abbildung [mm] f:X$\to$Y [/mm] und für Teilmengen A,A1,A2 von X sowie für Teilmengen B,B1,B2 von Y.
a) [mm] A$\subset$$f^{-1}$(f(A)) [/mm]
b) [mm] f(X)$\setminus$f(A) $\subset$ f(X$\setminus$A) [/mm]
c) [mm] $f^{-1}$(Y$\setminus$B) [/mm] = [mm] X$\setminus$$f^{-1}$(B)
[/mm]
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Bezüglich der Beweisführung von Abbildungen:
Meine Lösungsvorschläge zu a),b),c)
[mm] a)A$\subset$$f^{-1}$(f(A)) [/mm]
[mm] x$\in$A [/mm] , es gibt [mm] x$\in$$f^{-1}$(f(x)) [/mm]
[mm] $\gdw$es [/mm] gibt [mm] x$\in$$f^{-1}$(f(A)) [/mm]
??? bei dieser Aufgabe weis ich nicht so recht
[mm] b)f(X)$\setminus$f(A)$\subset$f(X$\setminus$A) [/mm]
[mm] $\gdw$ y$\in$f(X)$\setminus$y$\in$f(A) [/mm]
[mm] $\gdw$ y$\in$f(X) [/mm] und [mm] y$\not\in$f(A) [/mm]
[mm] $\gdw$ y$\in$f(X) [/mm] und nicht f(A)
[mm] $\Rightarrow$ y$\in$f(X$\setminus$A) [/mm]
Wenn ich eine Teilmenge beweisen soll, nehme ich dann wie hier die Implikation?
[mm] c)$f^{-1}$(Y$\setminus$B) [/mm] = [mm] X$\setminus$$f^{-1}$(B) [/mm]
[mm] x$\in$$f^{-1}$(Y$\setminus$B) [/mm]
[mm] $\gdw$x$\in$ $f^{-1}$(Y) [/mm] und [mm] x$\not\in$ $f^{-1}$(B) [/mm]
[mm] $\gdw$x$\not\in$ $f^{-1}$(B)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ronny,
eine Idee zu (a)
zz.: [mm] A\subset f^{-1}(f(A))
[/mm]
Sei also [mm] x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow\exists y\in [/mm] f(A):f(x)=y , denn f ist ja eine Abbildung
[mm] \Rightarrow\exists\tilde{x}\in f^{-1}(f(A)):f^{-1}(y)=\tilde{x} [/mm] , denn [mm] f^{-1} [/mm] ist Abbildung
[mm] \Rightarrow \tilde{x}=f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x))=\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=x [/mm]
[mm] \Rightarrow x\in f^{-1}(f(A))
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
bei (b) verstehe ich deinen Ansatz nicht so ganz, ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
zz:: [mm] f(X)\backslash f(A)\subset f(X\backslash [/mm] A)
Also sei [mm] y\in f(X)\backslash [/mm] f(A) [mm] \Rightarrow y\in [/mm] f(X) [mm] \wedge y\notin [/mm] f(A)
[mm] \Rightarrow\exists x\in [/mm] X:f(x)=y
[mm] \Rightarrow x\notin [/mm] A , denn angenommen, [mm] x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow\exists f(x)=y\in [/mm] f(A) Widerspruch
Also [mm] x\in X\backslash A\Rightarrow f(x)\in f(X\backslash [/mm] A) [mm] \gdw y\in f(X\backslash [/mm] A)
Die Umformungen in (c) sehe ich so ohne Begründungen nicht
Versuche, deine Schritte zu begründen oder beide Teilmengenbeziehungen
[mm] f^{-1}(Y\backslash B)\subset X\backslash f^{-1}(B) [/mm] und [mm] f^{-1}(Y\backslash B)\supset X\backslash f^{-1}(B) [/mm]
zu zeigen
Hoffe, ich konnte etwas weiter helfen
Gruß
schachuzipus
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Danke für Deine Antwort, für die Teilaufgabe c) würde ich es jetzt so schreiben:
[mm] $f^{-1}$ (Y$\setminus$B) $\subset$ [/mm] X [mm] $\setminus$ $f^{-1}$ [/mm] (B)
X [mm] $\in$ $f^{-1}$ [/mm] (Y [mm] $\setminus$ [/mm] B) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] X [mm] $\in$ $f^{-1}$ [/mm] (Y) und X [mm] $\not\in$ $f^{-1}$ [/mm] (B)
[mm] $\Rightarrow$ $f^{-1}$ [/mm] (Y) [mm] $\to$ [/mm] X
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] X und [mm] $f^{-1}$ [/mm] (B)
[mm] $f^{-1}$ (Y$\setminus$B) $\supset$ [/mm] X [mm] $\setminus$ $f^{-1}$ [/mm] (B)
X [mm] $\setminus$ $f^{-1}$ [/mm] (B) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] X [mm] $\to$ $f^{-1}$ [/mm] (Y) [mm] $\setminus$ $f^{-1}$ [/mm] (B)
[mm] $\Rightarrow$ $f^{-1}$ [/mm] (Y) [mm] $\setminus$ $f^{-1}$ [/mm] (B)
[mm] $\Rightarrow$ $f^{-1}$ [/mm] (Y [mm] $\setminus$ [/mm] B)
Würde das so funktionieren??
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> zu Aufgabe c)
> Danke für Deine Antwort, für die Teilaufgabe c) würde ich
> es jetzt so schreiben:
>
> [mm]f^{-1}[/mm] (Y[mm]\setminus[/mm]B) [mm]\subset[/mm] X [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> X [mm]\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y [mm]\setminus[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] X [mm]\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y)
> und X [mm]\not\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y) [mm]\to[/mm] X
> [mm]\Rightarrow[/mm] X und [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] X und nicht [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] X [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
>
> [mm]f^{-1}[/mm] (Y[mm]\setminus[/mm]B) [mm]\supset[/mm] X [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> X [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B) [mm]\Rightarrow[/mm] X [mm]\to[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y)
> [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y) [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y [mm]\setminus[/mm] B)
>
> Würde das so funktionieren??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Disap |
> zu Aufgabe c)
> Danke für Deine Antwort, für die Teilaufgabe c) würde ich
> es jetzt so schreiben:
>
> [mm]f^{-1}[/mm] (Y[mm]\setminus[/mm]B) [mm]\subset[/mm] X [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> X [mm]\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y [mm]\setminus[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] X [mm]\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y)
> und X [mm]\not\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y) [mm]\to[/mm] X
> [mm]\Rightarrow[/mm] X und [mm]f^{-1}[/mm] (B)
>
> [mm]f^{-1}[/mm] (Y[mm]\setminus[/mm]B) [mm]\supset[/mm] X [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> X [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B) [mm]\Rightarrow[/mm] X [mm]\to[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y)
> [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y) [mm]\setminus[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f^{-1}[/mm] (Y [mm]\setminus[/mm] B)
>
> Würde das so funktionieren??
Und ich möchte dir eine Alternative anbieten.
Hier gilt sogar Gleichheit! Wenn f:X -> Y eine Abbildung ist
[mm] $f^{-1}(Y \setminus [/mm] B)=X [mm] \setminus f^{-1}(B)$ [/mm]
Sei x aus [mm] $f^{-1}(Y\setminus [/mm] B)$. Dann
$f(x) [mm] \in Y\setminus [/mm] B$
[mm] $\gdw [/mm] f(x) [mm] \not\in [/mm] B $
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \not\in f^{-1}(B)$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus f^{-1}(B)$
[/mm]
MfG!
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 21.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Disap |
Hallo.
Wie ich Aufgabe a und b lösen würde.
a)ZZ: A$ [mm] \subset f^{-1} [/mm] (f(A))$
[mm] $x\in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$
[mm] $\gdw \exist [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) : f(x) = y$ mit $x [mm] \in [/mm] A$
[mm] $\gdw \exist [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) : [mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] = [mm] f^{-1}(y)$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] A$
[mm] $(x\in f^{-1}(y)) \gdw x\in f^{-1}(f(x)) \subset f^{-1}(f(A))$
[/mm]
b)ZZ f(X)$ [mm] \setminus [/mm] $f(A) $ [mm] \subset [/mm] $ f(X$ [mm] \setminus [/mm] $A)
[mm] $y\in [/mm] f(X) [mm] \setminusf(A) \gdw (y\in [/mm] f(X)) [mm] \wedge [/mm] (y [mm] \not\in [/mm] f(A))$
[mm] $\gdw \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X : f(x) =y) [mm] \wedge \not\existx \in [/mm] A : f(x) = y )$
[mm] $\Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] A : f(x) = y$
[mm] $\gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(X [mm] \setminus [/mm] A)$
Gleichheit gilt allerdings, wenn f injektiv ist.
> Beweisen Sie für eine Abbildung f:X[mm]\to[/mm]Y und für Teilmengen
> A,A1,A2 von X sowie für Teilmengen B,B1,B2 von Y.
>
> a) A[mm]\subset[/mm][mm]f^{-1}[/mm](f(A))
>
> b) f(X)[mm]\setminus[/mm]f(A) [mm]\subset[/mm] f(X[mm]\setminus[/mm]A)
>
> c) [mm]f^{-1}[/mm](Y[mm]\setminus[/mm]B) = X[mm]\setminus[/mm][mm]f^{-1}[/mm](B)
>
>
>
> Bezüglich der Beweisführung von Abbildungen:
> Meine Lösungsvorschläge zu a),b),c)
>
> a)A[mm]\subset[/mm][mm]f^{-1}[/mm](f(A))
> x[mm]\in[/mm]A , es gibt x[mm]\in[/mm][mm]f^{-1}[/mm](f(x))
> [mm]\gdw[/mm]es gibt x[mm]\in[/mm][mm]f^{-1}[/mm](f(A))
> ??? bei dieser Aufgabe weis ich nicht so recht
>
> b)f(X)[mm]\setminus[/mm]f(A)[mm]\subset[/mm]f(X[mm]\setminus[/mm]A)
> [mm]\gdw[/mm] y[mm]\in[/mm]f(X)[mm]\setminus[/mm]y[mm]\in[/mm]f(A)
> [mm]\gdw[/mm] y[mm]\in[/mm]f(X) und y[mm]\not\in[/mm]f(A)
> [mm]\gdw[/mm] y[mm]\in[/mm]f(X) und nicht f(A)
> [mm]\Rightarrow[/mm] y[mm]\in[/mm]f(X[mm]\setminus[/mm]A)
> Wenn ich eine Teilmenge beweisen soll, nehme ich dann wie
> hier die Implikation?
>
> c)[mm]f^{-1}[/mm](Y[mm]\setminus[/mm]B) = X[mm]\setminus[/mm][mm]f^{-1}[/mm](B)
> x[mm]\in[/mm][mm]f^{-1}[/mm](Y[mm]\setminus[/mm]B)
> [mm]\gdw[/mm]x[mm]\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm](Y) und x[mm]\not\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm](B)
> [mm]\gdw[/mm]x[mm]\not\in[/mm] [mm]f^{-1}[/mm](B)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank an Euch für die fleißige Unterstützung !!!
mfg
Ronny
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