Bijektivität Beweise < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien f : A [mm] \to [/mm] B und g : B [mm] \to [/mm] A Funktionen mit g*f = idA und f*g = idB.
Zeigen Sie, dass dann f und g bijektiv sind. |
Ich weis nicht wie ich das beweisen soll. Wir haben noch nie in der Uni bewiesen .
Bitte um Hilfe mit Erklärung , wie man das schritt für schritt löst.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Di 21.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
versuche aus [mm] $f\circ g=id_B$ [/mm] die Surjektivität von f bzw. die Injektivität von g zu zeigen und aus $g [mm] \circ f=id_A$ [/mm] die Injektivität von f bzw. Surjektivität von g.
Dass das dein erster Beweis ist, ist kein Argument.
Schaue dir die Definitionen an und versuche wenigstens etwas auf's Papier zu kritzeln.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:16 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> versuche aus [mm]f\circ g=id_B[/mm] die Surjektivität von f bzw.
> die Injektivität von g zu zeigen und aus [mm]g \circ f=id_A[/mm]
> die Injektivität von f bzw. Surjektivität von g.
vielleicht auch dazu noch ein Hinweis (ich finde es allerdings gut, wenn
man es erstmal genau so macht, wie Du es sagst):
Wer ein bisschen mitdenkt (oder später drüber nachdenkt), wird sicher
sehen, dass es hier *symmetrische* Beweisteile gibt. Damit meine ich, dass
der Beweis einer bestimmten Aussage schon aus einer anderen folgt, wenn
man einen gewissen *Rollentausch* durchführt.
> Dass das dein erster Beweis ist, ist kein Argument.
> Schaue dir die Definitionen an und versuche wenigstens
> etwas auf's Papier zu kritzeln.
Ich denke, ein guter Anfang ist es meist schon, wenn man erstmal ganz
konkret hinzuschreiben weiß, was eigentlich zu beweisen ist. Und damit
meine ich natürlich nicht einfach den Wortlaut der Aufgabe...
Bei vielen fängt es vielleicht schon an, dass sie sich fragen: "Wie soll ich
denn 'für alle [mm] $x\,$' [/mm] (mit einer Eigenschaft) etwas zeigen?"
Dass sie das machen können, indem sie mit "Sei [mm] $x\,$ [/mm] (mit der entsprechenden
Eigenschaft) beliebig, aber fest..." anfangen, ist vielleicht gar nicht so
naheliegend.
Ich wollte am Anfang durchaus bei Beweisen wie "Zeigen Sie [mm] $\IN \subseteq \IZ$"
[/mm]
immer schreiben:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN:$ [/mm] ...
[mm] $\Rightarrow$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN:$ [/mm] ...
Geht natürlich auch, ist aber etwas *lästig*...
Daher: Ich denke, man kann gewisse *Eleganzen* auch erst dann würdigen,
wenn man sie mal kennengelernt hat...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien f : A [mm]\to[/mm] B und g : B [mm]\to[/mm] A Funktionen mit g*f = idA
> und f*g = idB.
> Zeigen Sie, dass dann f und g bijektiv sind.
> Ich weis nicht wie ich das beweisen soll. Wir haben noch
> nie in der Uni bewiesen .
> Bitte um Hilfe mit Erklärung , wie man das schritt für
> schritt löst.
da kannst Du eigentlich einfach das Forum durchsuchen, denn ich habe
das bestimmt schon mehrmals ausführlich erklärt.
Wichtiger ist, dass Du selbst mitdenkst und mitmachst. Da das Dein erster
Beweis ist, mache ich mal einen Anfang:
Es ist
$g [mm] *f=\text{id}_A\,.$
[/mm]
Damit kann man zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist. Das bedeutet:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] A$ mus aus
[mm] $f(x)=f(y)\,$
[/mm]
schon [mm] $x=y\,$ [/mm] folgen.
Seien nun also $x,y [mm] \in [/mm] A$ beliebig, aber so, dass $f(x)=f(y)$ gilt. Daraus folgt
[mm] $g(f(x))=g(f(y))\,,$
[/mm]
denn [mm] $g\,$ [/mm] ist ja eine Abbildung.
Benutze nun noch
$(g*f)(a)=g(f(a))$ (beachte: [mm] $\cdot$ [/mm] steht hier für die Komposition, oft schreibt
man auch [mm] $\circ$ [/mm] stattdessen)
und denke dran, was [mm] $\text{id}_A(a)$ [/mm] für $a [mm] \in [/mm] A$ ist.
Wie gesagt: Das ist ein Anfang.
Wenn Du zur Surjektivität gar nichts weißt, dann sag' uns doch einfach
erst mal, was Du Deiner Meinung nach per Definitionem überhaupt zu
beweisen hast. Meist fangen die Schwierigkeiten nämlich damit an, dass
die Leute an der Uni sich nicht klarmachen, dass es absolut wichtig ist,
Definitionen zu lernen, vor allem aber zu verstehen. Das ist anders als in
der Schule. wo man erstmal mit Beispielen an gewisse Dinge herangeführt
wird...
Gruß,
Marcel
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