Bild der Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Sa 15.05.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0}
[/mm]
Beschreibe die Menge { v [mm] \in \IR^4 [/mm] | v [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm] } |
Hallo,
durch Zeilenumformungen konnte ich die Matrix auf die Form
[mm] A_1= \pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
bringen. Da kann man ablesen, dass die Matrix den Rang 3 hat und einen Raum mit der Dimension 3 aufspannt.
Das bedeutet für die Vektoren w des Bildes mit w= [mm] (a,b,c,d)^T [/mm] gilt, dass eins der a,b,c,d immer 0 ist für alle w [mm] \in Im(\Phi_A)
[/mm]
Die gesuchte Menge besteht also aus Vektoren [mm] v=(v_1,v_2,v_3,v_4)^T [/mm] , wobei [mm] v_1,v_2,v_3,v_4 [/mm] jeweils [mm] \not= [/mm] 0 sind.
Darf man so argumentieren?
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Hallo,
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Beschreibe die Menge { v [mm]\in \IR^4[/mm] | v [mm]\not\in Im(\Phi_A)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> Hallo,
>
> durch Zeilenumformungen konnte ich die Matrix auf die Form
> [mm]A_1= \pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> bringen. Da kann man ablesen, dass die Matrix den Rang 3
> hat und einen Raum mit der Dimension 3 aufspannt.
> Das bedeutet für die Vektoren w des Bildes mit w=
> [mm](a,b,c,d)^T[/mm] gilt, dass eins der a,b,c,d immer 0 ist für
> alle w [mm]\in Im(\Phi_A)[/mm]
> Die gesuchte Menge besteht also aus
> Vektoren [mm]v=(v_1,v_2,v_3,v_4)^T[/mm] , wobei [mm]v_1,v_2,v_3,v_4[/mm]
> jeweils [mm]\not=[/mm] 0 sind.
Die Idee ist nicht schlecht,
aber leider darfst du so nicht argumentieren.
Das Bild einer Matrix wird gerade durch die Spalten der Matrix erzeugt.
Du kannst dir nun vorstellen, dass du mit Zeilenumformungen das Bild der Matrix "zerstörst" (mit anderen Worten: Bereits nach einer Umformung muss das Bild der umgeformten Matrix nicht mehr dasselbe sein wie von der ursprünglichen Matrix). Dieses Verfahren eignet sich also bloß dazu, den Rang = dim(Bild(A)) zu bestimmen, nicht aber das Bild selbst.
Für die Bildbestimmung musst du also Spaltenumformungen durchführen! Überlege dir, dass diese das Bild von der Matrix nicht verändern.
Noch ein Hinweis, den du wahrscheinlich aber schon selbst gemerkt hast: Natürlich muss dieser Raum in der Aufgabenstellung kein Vektorraum mehr sein. Es ist aber so, dass im übertragenen Sinne "Dimension 4" hat.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 16.05.2010 | | Autor: | etoxxl |
Ok mein nächster Vorschlag wäre dann eine Quotientenraumkostruktion.
Der Raum [mm] R^4/_{Im(\Phi_A)} [/mm] enthält genau die Vektoren von [mm] R^4 [/mm] die nicht in [mm] Im(\Phi_A) [/mm] sind.
Also [mm] R^4/_{Im(\Phi_A)} [/mm] = { [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \in R^4 [/mm] } = { [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \in Im(\Phi_A) [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm] }
= [mm] \overline{0} {\cup} [/mm] { [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm] } = { [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm] }
Um solch ein r zu konstruieren kann man die in der Aufgabenstellung gegebene Matrix
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0}
[/mm]
durch Spaltenoperationen umformen sodass die letzte Spalte eine Nullspalte ist.
( [mm] a_{4} [/mm] = [mm] -3a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{2} [/mm] + [mm] 2a_{3} [/mm] )
[mm] A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0} [/mm] Die Spalten [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} [/mm] sind linear unabhängig
Daraus ergibt sich, dass die Spalten [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} [/mm] eine Basis von [mm] Im(\Phi_A) [/mm] sind.
Das r muss also so gewählt werden, dass die Vektoren [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3}, [/mm] r linear unabhängig sind.
(Wobei nebenbei [mm] {a_{1}, a_{2}, a_{3}, r} [/mm] eine Basis von [mm] R^4 [/mm] ist )
Der Vektor [mm] e_4 [/mm] = (0,0,0,1) ist z.B solch ein Vektor.
Daraus ergibt sich für die gesucht Menge
{ v [mm] \in R^4 [/mm] | v [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm] }= { [mm] e_{4} [/mm] + [mm] Im(\Phi_A) [/mm] } = { < [mm] \overline{e_4}>_R [/mm] }
Kann man so argumentieren?
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Hallo!
Als Moderator möchte ich dich zunächst bitten, nicht mehr Personen direkt mit PN anzuschreiben, damit sie sich deine Aufgaben ansehen. Wenn man antworten möchte, so tut man dies freiwillig.
Ich kenne mich mit Faktorräumen / Quotientenräumen nicht so unglaublich gut aus, deswegen hätte ich jetzt eigentlich nichts dazu gesagt.
> Ok mein nächster Vorschlag wäre dann eine
> Quotientenraumkostruktion.
> Der Raum [mm] R^4/_{Im(\Phi_A)} [/mm] enthält genau die Vektoren von
> [mm] R^4 [/mm] die nicht in [mm] Im(\Phi_A) [/mm] sind.
Das ist so nicht richtig.
Der Quotientenraum, den du da beschreibst, hat ja nur Dimension 1 (und es ist ein Vektorraum!). Wie kann er da genau die Vektoren enthalten, die nicht im Bild sind?
> Also [mm] R^4/_{Im(\Phi_A)} [/mm] = { [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \in R^4 [/mm] } = {
> [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \in Im(\Phi_A) [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] \overline{r} [/mm] | r
> [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm] }
> = [mm] \overline{0} {\cup} [/mm] { [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm]
> } = { [mm] \overline{r} [/mm] | r [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm] }
> Um solch ein r zu konstruieren kann man die in der
> Aufgabenstellung gegebene Matrix
> [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0}
[/mm]
>
> durch Spaltenoperationen umformen sodass die letzte Spalte
> eine Nullspalte ist.
> ( [mm] a_{4} [/mm] = [mm] -3a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{2} [/mm] + [mm] 2a_{3} [/mm] )
> [mm] A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0} [/mm]
> Die Spalten [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} [/mm] sind linear unabhängig
OK.
> Daraus ergibt sich, dass die Spalten [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} [/mm]
> eine Basis von [mm] Im(\Phi_A) [/mm] sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das r muss also so gewählt werden, dass die Vektoren
> [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3}, [/mm] r linear unabhängig sind.
> (Wobei nebenbei [mm] {a_{1}, a_{2}, a_{3}, r} [/mm] eine Basis von [mm] R^4 [/mm]
> ist )
> Der Vektor [mm] e_4 [/mm] = (0,0,0,1) ist z.B solch ein Vektor.
Ok, aber Beweis?
> Daraus ergibt sich für die gesucht Menge
> { v [mm] \in R^4 [/mm] | v [mm] \not\in Im(\Phi_A) [/mm] }= { [mm] e_{4} [/mm] + [mm] Im(\Phi_A) [/mm]
> } = { < [mm] \overline{e_4}>_R [/mm] }
>
> Kann man so argumentieren?
Das sieht prinzipiell nicht schlecht aus. Allerdings verstehe ich nicht, warum du am Anfang mit Quotientenräumen rumhantierst, und dann am Ende nichts mehr davon benutzt. Was zunächst klar ist, ist, dass dein Raum keine Vektoren enthält, die im Bild von der Abbildung sind.
Aber: Er enthält noch nicht alle. Dieser Raum hier dagegen:
[mm] $\{\lambda*e_{4} + Im(\Phi)|\lambda\not= 0\}$
[/mm]
dürfte alle enthalten. Ist dir der Unterschied klar? Ich lege meine Hand nicht ins Feuer, dass das stimmt, aber für mich klingt's plausibel. Deswegen will ich dir noch eine Möglichkeit zeigen, wo ich mir sicher bin:
Wir können die Ausgangsmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0}
[/mm]
umformen, und zwar durch Spaltenumformungen in folgender Weise:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 & 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 & 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1}
[/mm]
(Die Umformungen dahin überlasse ich dir).
Wir können also die Gestalt des Bildes ganz klar als die Menge der Vektoren [mm] \vektor{a\\b\\c\\a+b+c} [/mm] angeben.
Entsprechend ist die Menge der Vektoren, die nicht im Bild sind, die, für welche gilt:
[mm] \vektor{a\\b\\c\\ z}
[/mm]
mit [mm] $z\not=a+b+c.$
[/mm]
So wird zum einen deutlich, dass diese Vektoren nicht im Bild sind, zum anderen wird aber auch deutlich, dass wir alle Vektoren des Raumes betrachten.
Grüße,
Stefan
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