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| Aufgabe | Sei folgende 4x4-Matrix gegeben:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 }
[/mm]
Bestimmen Sie den Rang von B, sowie eine Basis des Bildes von B. |
Hallo!
Der Rang von M ist ja 2 da sich immer 2 Spalten/Zeilenvektoren durch die 2 anderen darstellen lassen.
z.B. (2,3,4,5)= 2*(1,2,3,4) - (0,1,2,3)
(3,4,5,6)= 3*(1,2,3,4) - 2*(0,1,2,3)
Ist jetzt {(0,1,2,3),(1,2,3,4)} auch gleichzeitig eine Basis des Bildes? Was ist überhaupt das Bild einer Matrix? das Bild der [mm] \IR^{4} [/mm] --> [mm] \IR^{4} [/mm] Abbildung wobei M die assoziierte Matrix zu der Abbildung ist? Also wenn kommentarlos eine mxn-Matrix dasteht steht sie für eine lineare Abbildung [mm] K^{m} [/mm] --> [mm] K^{n} [/mm] oder hab ich das vollkommen missverstanden?
Danke
Philipp
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Hallo Philipp,
> Sei folgende 4x4-Matrix gegeben:
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 }[/mm]
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> Bestimmen Sie den Rang von B, sowie eine Basis des Bildes
> von B.
> Hallo!
> Der Rang von M ist ja 2 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") da sich immer 2
> Spalten/Zeilenvektoren durch die 2 anderen darstellen
> lassen.
> z.B. (2,3,4,5)= 2*(1,2,3,4) - (0,1,2,3)
> (3,4,5,6)= 3*(1,2,3,4) - 2*(0,1,2,3)
>
> Ist jetzt {(0,1,2,3),(1,2,3,4)} auch gleichzeitig eine
> Basis des Bildes? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, das sind ja 2 offensichtlich linear unabh. Spalten(vektoren) der Matrix
> Was ist überhaupt das Bild einer Matrix?
> das Bild der [mm]\IR^{4}[/mm] --> [mm]\IR^{4}[/mm] Abbildung ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Achtung mit den Dimensionen !! - s. unten
> wobei M die
> assoziierte Matrix zu der Abbildung ist? Also wenn
> kommentarlos eine mxn-Matrix dasteht steht sie für eine
> lineare Abbildung [mm]K^{\red{n}}[/mm] --> [mm]K^{\red{m}}[/mm] oder hab ich das
> vollkommen missverstanden?
Nein, nicht vollkommen. Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung [mm] $\phi:\IR^n\to\IR^m$ [/mm] ist immer vom Format [mm] $m\times [/mm] n$
Umgekehrt beschreibt jede Matrix vom Format [mm] $m\times [/mm] n$ auch eine lineare Abbildung [mm] $\psi:\IR^n\to\IR^m$ [/mm] , du hast hier eine [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrix, die beschreibt dir also eine lineare Abb. von [mm] $\IR^2\to\IR^2$ [/mm] - aufgrund ihres Formates
> Danke
>
> Philipp
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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