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Hallo!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
A := [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 } [/mm] Element [mm] \IF_{2}
[/mm]
Bestimme eine invertierbare Matrix S, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] eine Blockdiagonalmatrix ist mit Blöcken der Grösse 2, 2 und 1.
Die Matrix A' = [mm] S^{-1}AS [/mm] muss also so aussehen:
A' = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] Element [mm] \IF_{2}
[/mm]
Ich habe absolut keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Es wäre super, wenn mir jemand bei dem Ansatz helfen könnte!
Markus
(ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt!)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Solyscope |
Ich bin mir doch nicht so sicher, dass die Matrix wie oben angegeben aussehen soll, gegeben war ja nur, dass es eine Blockdiagonalmatrix mit Blöcken der Größe 2, 2 und 1 sein soll.
Mittlerweile hab ich das charakteristische Polynom der Matrix berechnet, welches lautet:
[mm] x^{5}+x^{3}+x^{2}+1
[/mm]
Als Eigenwert hat die Matrix nur den Wert 1. Die drei zugehörigen Eigenvektoren habe ich berechnet als:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, x_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Mehr Eigenvektoren finde ich aber nicht und mit diesen lässt sich noch keine 5x5 Matrix schreiben...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Kennst du die kanonische rationale Normalform?
Mit der könnte man gut argumentieren.
Es gilt ja, wenn du dich nicht verrechnet hast:
[mm] $CP_A(x) [/mm] = [mm] (x-1)^3 \cdot (x^2-x+1)$,
[/mm]
wobei [mm] $x^2-x+1$ [/mm] irreduzibel über [mm] $\IF_2$ [/mm] ist.
Da es ja drei invariante Unterräume geben muss, ist es klar, dass zu diesen drei invarianten Unterräumen die drei folgenden Minimalpolynome gehören (bechte, dass wir in [mm] $\IF_2$ [/mm] sind!):
[mm] $m_1(x) [/mm] = x-1 = x+1$,
[mm] $m_2(x) [/mm] = [mm] (x-1)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 1$,
[mm] $m_3(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - x +1 = [mm] x^2 [/mm] + x + 1$.
Es gibt somit einen eindimensionalen und zwei zweidimensionale invariante Unterräume.
Der eindimensionale invariante Unterraum (also der Eigenraum) wird natürlich durch einen Eigenvektor zum Eigenwert $1$ aufgespannt, für die beiden anderen invarianten Unterräume musst du jeweils eine zyklische Basis (also eine Basis der Form $(x,Ax)$).
Dann sieht die kanonische rationale Form wie folgt aus:
[mm] $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Jetzt musst du nur noch zyklische Basen für die drei invarianten Unterräume finden.
Liebe Grüße
Julius
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