Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 So 03.01.2010 | | Autor: | nsche |
| Aufgabe | [mm] \integral_{K}^{ }{sin^2(z)/(z+1)^3 dz}
[/mm]
soll mit der Causchyschen Integralformel berechnet werden, K ist der Kreis um 0 mit Radius 2 |
mach ich das richtig:
[mm] z_{0}=-1
[/mm]
[mm] f(z)=sin^2(z) [/mm] ist holomorph, also ist Integralformel anwendbar
C-Formel:
[mm] \integral_{K}^{ }\bruch{f(z)}{(z-z_0)^n} [/mm] dz = [mm] \bruch{2 \pi i}{(n-1)!} f^{n-1}(z_0)
[/mm]
Werte eingesetzt:
[mm] \integral_{K}^{ }\bruch{sin^2(z)}{(z+1)^3} [/mm] dz = [mm] \bruch{2 \pi i}{(3-1)!} (sin^2(z_0))''
[/mm]
[mm] sin^2(z)''= 2(cos(z)sin(z))'=...=2(cos^2(z)-sin^2(z))=cos(2z)
[/mm]
[mm] \integral_{K}^{ }\bruch{sin^2(z)}{(z+1)^3} [/mm] dz = [mm] \bruch{2 \pi i}{(2)!} [/mm] cos(2(-1)) = [mm] \pi [/mm] i cos(2)
Danke für euren hilfreichen Blick
nsche
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles bestens !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Mo 04.01.2010 | | Autor: | nsche |
hallo Fred, ganz herzlichen Dank
nsche
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Fr 12.02.2010 | | Autor: | mafra |
| Aufgabe | [mm] \alpha_a_,_r [/mm] (t)= a+r*e^it [mm] 0\le t\le 2*\Pi
[/mm]
Berechne mit Cauchy'schen Integralsatz und Integralformel folgende Integrale:
a) [mm] \int_{\alpha_2_,_1} z^7+1/(z^2(z^4+1))\, [/mm] dz
b) dasselbe INtegral wie in a) nur Kurve [mm] \alpha_1_,_1_,_5
[/mm]
[mm] c)\int_{\alpha_0_,_3} e^-z/(z+2)^3\, [/mm] dz |
Hi
also erst mal zu c). Ich habe [mm] i*\pi/e^2 [/mm] raus. Stimmt das? ich hoffe schon...
zua) ist das Integral nicht null? weil die interessanten Punkte [mm] 0,\sqrt(i) [/mm] ja gar nicht innehalb der KReisscheibe liegen-> Integral ist 0
zu b) wie mach ich das da?? beide interessanten Punkte [mm] 0,\sqrt(i) [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Fr 12.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\alpha_a_,_r[/mm] (t)= a+r*e^it [mm]0\le t\le 2*\Pi[/mm]
> Berechne mit
> Cauchy'schen Integralsatz und Integralformel folgende
> Integrale:
> a) [mm]\int_{\alpha_2_,_1} z^7+1/(z^2(z^4+1))\,[/mm] dz
> b) dasselbe INtegral wie in a) nur Kurve [mm]\alpha_1_,_1_,_5[/mm]
> [mm]c)\int_{\alpha_0_,_3} e^-z/(z+2)^3\,[/mm] dz
> Hi
> also erst mal zu c). Ich habe [mm]i*\pi/e^2[/mm] raus. Stimmt das?
Ja
> ich hoffe schon...
> zua) ist das Integral nicht null? weil die interessanten
> Punkte [mm]0,\sqrt(i)[/mm] ja gar nicht innehalb der KReisscheibe
> liegen-> Integral ist 0
Ja
> zu b) wie mach ich das da?? beide interessanten Punkte
> [mm]0,\sqrt(i)[/mm]
Partialbruchzerlegung des Interanden
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Fr 12.02.2010 | | Autor: | mafra |
achso! ja klar..da gabs ja noch die Partialbruchzerlegung :) danke danke und sorry für die etwas "doofe" Frage ...Grüße
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