Char Poly = (-1)^r*(t^r...) < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Di 25.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Man zeige, dass das charakteristische Polynom von [mm] \pmat{ 0 & \cdots & \cdots & 0 & c_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}} [/mm] gleich [mm](-1)^{r}(t^{r}-c_{r-1}t^{r-1}-\cdots-c_{1}t-c_{0})[/mm] ist. |
Hallo,
ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe.
Ich muss die Determinante berechnen und durch Umformungen die gesuchte Gleichung finden.
Also ist die Determinante: [mm] \vmat{ -t & \cdots & \cdots & 0 & c_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}
[/mm]
Ich habe versucht mit Laplace nach der letzten Zeile zu entwickeln, weil ich dann das [mm] c_{0} [/mm] enthalten habe, aber so wirklich komme ich damit nicht weiter, weil ich es nicht richtig zusammen fassen kann.
Kann mir dabei jemand helfen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Di 25.05.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
teile einmal deine erste Zeile der Determinante durch t und addiere das Ergebnis auf die zweite, dann dividierst du die zweite durch t und addierst auf die dritte usw. bis zur vorletzen Zeile
So erhälst du eine Diagonalmatrix, da du die -1 unterhalb der Diagonalen eliminierst. Danach lässt sich die Determinante dann leicht bestimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Di 25.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hi, danke erstmal für deine Antwort!
[mm] \vmat{ -t & \cdots & \cdots & 0 & c_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 1 geteilt durch t}\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 1 + Zeile 2}
[/mm]
[mm] \vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -t & & \vdots & c_{1}+\bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 2 durch t}\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -1 & & \vdots & \bruch{c_{1}}{t}+\bruch{c_{0}}{t^{2}} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{...}
[/mm]
[mm] \vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -1 & & \vdots & \bruch{c_{1}}{t}+\bruch{c_{0}}{t^{2}} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 & \bruch{c_{r-2}}{t}+\bruch{c_{r-3}}{t^{2}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r}} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \bruch{c_{r-1}-t}{t}+\bruch{c_{r-2}}{t^{2}}+\bruch{c_{r-3}}{t^{3}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r}}}
[/mm]
Als Ergebnis bekomme ich also [mm] \bruch{c_{r-1}-t}{t}+\bruch{c_{r-2}}{t^{2}}+\bruch{c_{r-3}}{t^{3}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r-1}}*(-1)^{r-1} [/mm]
Aber das ist doch noch nicht die gesuchte Gleichung oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 Di 25.05.2010 | | Autor: | Lippel |
Sorry, vielleicht habe ich mich etwas unklar ausgedrück. Du addierst jeweils die Zeile [mm] \frac{1}{t} [/mm] mal auf die darunter. Die Zeile, die du gerade dabei addierst, musst du dabei allerdings unverändert lassen. Die Determinante ist nicht invariant gegenüber der Multiplikation einzelner Zeilen. Du kannst deine Herleitung allerdings fast so stehen lassen, wenn du jedes Mal, wenn du eine Zeile mit [mm] \frac{1}{t} [/mm] multiplizierst, ein t aus der Determinante herausziehst. Dabei verwendest du die Linearität in jeder Zeile:
[mm]
$ \vmat{ -t & \cdots & \cdots & 0 & c_{0} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 1 geteilt durch t}t*\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 1 & \ddots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 1 + Zeile 2} $
t $ \vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -t & & \vdots & c_{1}+\bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{Zeile 2 durch t}t^2*\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -1 & & \vdots & \bruch{c_{1}}{t}+\bruch{c_{0}}{t^{2}} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -t & c_{r-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & c_{r-1}-t}\underbrace{=}_{...} $
$ t^r*\vmat{ -1 & \cdots & \cdots & 0 & \bruch{c_{0}}{t} \\ 0 & -1 & & \vdots & \bruch{c_{1}}{t}+\bruch{c_{0}}{t^{2}} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 & \bruch{c_{r-2}}{t}+\bruch{c_{r-3}}{t^{2}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r}} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \bruch{c_{r-1}-t}{t}+\bruch{c_{r-2}}{t^{2}}+\bruch{c_{r-3}}{t^{3}}+...+\bruch{c_{0}}{t^{r}}} $ [/mm]
So erhälst du das gewünschte Ergebnis, musst allerdings streng genommen noch eine Fallunterscheidung für [mm] t=0 [/mm] machen.
Lippel
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