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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Di 11.09.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare DGL mit konstanten Koeffizienten:
[mm] y''+ay'+by=e^{2x}*sinx
[/mm]
a) Wie müssen a,b [mm] \in \IR [/mm] gewählt werden, damit der Fall der Resonanz eintritt?
b)Wie sieht in diesem Fall der Ansatz für eine partikuläre Lösung aus?
c) Kann doppelte Resonanz eintreten? |
Hi,
ich habe die Musterlösung der Aufgabe, verstehe aber den Ansatz für a) nicht.
Ansatz:
Störglied: [mm] f_{(x)}=e^{2x}*sinx
[/mm]
[mm] \lambda_{s}=2 \pm [/mm] i
Wie kommt man auf [mm] \lambda_{s}=2 \pm [/mm] i???? Hab bei anderen Aufgaben gestöbert und da wurde z.B. für [mm] 4e^{2x} [/mm] die komplexe Zahl [mm] \lambda_{s}=2 [/mm] oder für [mm] 4e^{2x}*(cos(2x)-2sin(2x)) [/mm] die komplexe Zahl [mm] \lambda_{s}=2+2i [/mm] zugeordnet. Ich hab das dann bei weiteren Aufgaben immer nach diesem Schema gemacht:
-Bei e-Funktion ist [mm] \lambda_{s} [/mm] der Faktor vor dem x
-Bei Sinus- und Cosinusfunktionen ist [mm] \lambda_{s} [/mm] der Faktor der im Argument vor dem x steht multipliziert mit i.
-Bei Störfunktionen der Form [mm] ax^{2}+bx+c [/mm] ist [mm] \lambda_{s}=0
[/mm]
Das hat auch, obwohl ich nicht genau wusste was ich da mache, immer geklappt. Bis jetzt. Also wie kommt man bei obiger Aufgabe auf [mm] \lambda_{s}=2 \pm [/mm] i???
Danke für eure Hilfe!!!!
LG
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Di 11.09.2007 | | Autor: | polyurie |
Hi, danke für die Antwort
aber warum [mm] \pm [/mm] ?? Ich hätte da einfach [mm] \lambda_{s}= [/mm] 2 + i , weil [mm] e^{ [red] 2 [/red] x}*sin( [/mm] +1 *x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 11.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sei die lineare DGL mit konstanten Koeffizienten:
>
> [mm]y''+ay'+by=e^{2x}*sinx[/mm]
>
> a) Wie müssen a,b [mm]\in \IR[/mm] gewählt werden, damit der Fall
> der Resonanz eintritt?
> b)Wie sieht in diesem Fall der Ansatz für eine partikuläre
> Lösung aus?
> c) Kann doppelte Resonanz eintreten?
> Hi,
>
> ich habe die Musterlösung der Aufgabe, verstehe aber den
> Ansatz für a) nicht.
>
> Ansatz:
> Störglied: [mm]f_{(x)}=e^{2x}*sinx[/mm]
> [mm]\lambda_{s}=2 \pm[/mm] i
>
> Wie kommt man auf [mm]\lambda_{s}=2 \pm[/mm] i????
Ganz einfach: mit der Formel [mm]\sin x = \bruch{1}{2i}\left(\mathrm{e}^{+ix}-\mathrm{e}^{-ix}\right)[/mm]. Zusammengefasst hat das Störglied die Form
[mm]\bruch{1}{2i}\left(\mathrm{e}^{(2+i)x} + \mathrm{e}^{(2-i)x}\right)[/mm]
Daher sind die beiden Faktoren in den Exponenten gerade [mm]2+i[/mm] und [mm]2-i[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 11.09.2007 | | Autor: | polyurie |
ok super, soweit hab ichs gerafft. Wusste von der Formel nicht.
Muss aber trotzdem nochmal nachfragen. Bei einer anderen Aufgabe ist das Störglied:
[mm] f_{(x)}=9e^{3x}*sin(3x)
[/mm]
Und darunter steht:
Der Störfunktion ist die komplexe Zahl [mm] \lambda_{s}=3+3i [/mm] zuzuordnen. Dies ist keine Nulstelle... usw.
Müsste man jetzt aber nicht laut der Formel von Rainer der Störfunktion die komklexen Zahlen [mm] \lambda_{s1}=3+3i [/mm] und [mm] \lambda_{s2}=3-3i [/mm] zuordnen???
Gruß
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Di 11.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Prof hat angenommen, dass du weisst, dass mit 3+3i auch 3-3i ne Lösg des ch. Pol wäre, deshalb reicht das eine für die folgenden Argumente aus. er hät genausogut 3-3i hinschreiben können
du kannst dir das andere dazuschreiben,wenns dann klarer ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Mi 12.09.2007 | | Autor: | polyurie |
ok danke
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