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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL |
Hallo,
ich zerbreche mir im Moment den Kopf an folgender Aufgabe. Könnt ihr mir bitte weiterhelfen :)
y'=x*((2y²-y-4)/(2y-1))
Ich würde diese Aufgabe über Trennung der Variablen lösen, aber ich komme nicht weiter..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke !
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Hallo,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
> Hallo,
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> ich zerbreche mir im Moment den Kopf an folgender Aufgabe.
> Könnt ihr mir bitte weiterhelfen :)
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> y'=x*((2y²-y-4)/(2y-1))
>
> Ich würde diese Aufgabe über Trennung der Variablen
> lösen, aber ich komme nicht weiter..
Die Methode ist zielführend. 'Ich komme nicht weiter' ohne weitere Informationen, was du versucht hast, erlaubt keine spezifische Hilfestellung.
Die Trennung der Variablen bedeutet ja, dass man passende Variablen und Differenziale auf eine Seite bringt. Das sieht dann direkt nach einer Gleichungsumformung so aus:
[mm] \frac{2y-1}{2y^2-y-4}*dy=x*dx[/mm]
Jetzt solltest du eigentlich weiterkommen, indem du beide Seiten integrierst. In diesem Zusammenhang ergibt sich für mich die Frage, ob du die DGL richtig abgetippt hast, oder ob nicht ganz zufällig die '2' vor dem [mm] 'y^2' [/mm] ein Fehler ist? Für diesen Fall hättest du jedenfalls auch auf der linken Seite ein sehr einfaches Integral.
Gruß, Diophant
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nein, die 2 vor dem y² ist schon richtig und das ist der nächste Knackpunkt.
Würde die Integrationsregel ∫f′(x)/f(x)dx=ln(f(x))+C nehmen, aber dies geht nicht mit der 2, weil ich ja in der Ableitung 4y stehen habe statt 2y.
Kann man hier mit Hilfe der Substitution weiter kommen oder durch geschicktes Umschreiben?
danke dir :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Sa 07.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> nein, die 2 vor dem y² ist schon richtig und das ist der
> nächste Knackpunkt.
Steht vielleicht im Zähler vor den '-y' noch eine 2?
> Würde die Integrationsregel ∫f′(x)/f(x)dx=ln(f(x))+C
> nehmen, aber dies geht nicht mit der 2, weil ich ja in der
> Ableitung 4y stehen habe statt 2y.
>
> Kann man hier mit Hilfe der Substitution weiter kommen oder
> durch geschicktes Umschreiben?
Nein, das läuft hier (so wie du die DGL angegeben hast) auf eine ziemlich ungemütliche Partialbruchzerlegung hinaus. Die Nenner-Nullstellen sind
[mm]x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}[/mm]
Ich habe es gerade durch Mathcad gejagt: da kommt ein Integral heraus, dass aus zwei Summanden der Form ln(ay+b) besteht, also bringt auch eine Aufspaltung des Zählers (für eine eventuell vorhandene arctan-Komponente) nichts. Ich möchte fast wetten, dass sich da auf dem Weg vom Autor bis hier ins Forum irgendwo ein Fehler eingeschlichen hat. Ich würde dies an deiner Stelle jedenfalls prüfen, bevor ich mich an ein solches Integral machen würde...
Gruß, Diophant
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Die Aufgabe habe ich direkt vom Autor und die ist leider so wirklich gestellt :/
Kann man da vllt über die Laplace Transformation was machen?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Sa 07.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Kann man da vllt über die Laplace Transformation was
> machen?
das sieht mir jetzt nicht danach aus, dass eine Laplace-Trafo hier irgendetwas vereinfacht. Das ist mir aber - um ehrlich zu sein - momentan auch zu aufwändig, es nachzuprüfen.
@Moderation: bitte den obigen Beitrag der TS in eine (unbeantwortete) Frage umwandeln.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:33 So 08.01.2017 | | Autor: | donquijote |
Hallo,
ich sehe auch keine einfachere Lösung, als das Intergal mittels Patrtialbruchzerlegung zu berechnen, was auf eine eher "unschöne" Lösung führt. Ich habe jedoch den Verdacht, dass sich der Aufgabensteller sich vertan hat (auch Aufgabensteller machen manchmal Fehler) und eigentlich y²-y-4 statt 2y²... gemeint ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 So 08.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> nein, die 2 vor dem y² ist schon richtig und das ist der
> nächste Knackpunkt.
> Würde die Integrationsregel ∫f′(x)/f(x)dx=ln(f(x))+C
> nehmen, aber dies geht nicht mit der 2, weil ich ja in der
> Ableitung 4y stehen habe statt 2y.
>
> Kann man hier mit Hilfe der Substitution weiter kommen oder
> durch geschicktes Umschreiben?
Nein, wie besprochen (meine Antwort dient hier nur der Deaktivierung der oben unnötigerweise erzeugten Frage).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Sa 07.01.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) lass das von Wolfram alpha integrieren,
b) sonst Partialbruchzerlegung mit leider unschönen Nullstellen der Nennerfunktion
Gruß leduart
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