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| Aufgabe | | Schreibe die DGL y'' - y' + [mm] e^{2x}*y [/mm] - [mm] x*e^{2x} [/mm] + 1 = 0 durch Substitution t = exp(x) und z(t) := y(x) um und löse die daraus resultierende DGL für z. Bestimme alle Lösungen. |
Hallo zusammen,
ich folgete dem Anzatz aus der Aufgabenstellung wie folgt:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dy}{dt}*\bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dy}{dt}*e^x.
[/mm]
[mm] \bruch{d^2y}{dx^2} [/mm] = [mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{dy}{dt}*e^x) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt}\bruch{dt}{dx}(\bruch{dy}{dt}*e^x) [/mm] = [mm] \bruch{dt}{dx}\bruch{d}{dt}(\bruch{dy}{dt}*e^x) [/mm] = [mm] e^x*(\bruch{d^2t}{dt^2}*e^x [/mm] + [mm] \bruch{dy}{dt}*e^x*\bruch{1}{e^x}) [/mm] = [mm] e^{2x}*\bruch{d^2y}{dt^2} [/mm] + [mm] e^{x}*\bruch{d^y}{dt}. [/mm]
Nun schreibe ich die DGL für z(t) um und erhalte:
[mm] t^2 *\bruch{d^2z}{dt^2} [/mm] + [mm] t^2*z [/mm] = [mm] t^2*ln(t) [/mm] - 1,
und somit:
[mm] \bruch{d^2z}{dt^2} [/mm] + z = ln(t) - [mm] 1/t^2.
[/mm]
Könntet Ihr schauen, ob meine Rechnung richtig ist? Wie packe ich nun die DGL für z an - mit Wronski-determinante und cos/sin als Fundamentalsystem?
Bin dankbar für jede Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mo 16.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Schreibe die DGL y'' - y' + [mm]e^{2x}*y[/mm] - [mm]x*e^{2x}[/mm] + 1 = 0
> durch Substitution t = exp(x) und z(t) := y(x) um und löse
> die daraus resultierende DGL für z. Bestimme alle
> Lösungen.
> Hallo zusammen,
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> ich folgete dem Anzatz aus der Aufgabenstellung wie folgt:
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{dy}{dt}*\bruch{dt}{dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{dy}{dt}*e^x.[/mm]
>
> [mm]\bruch{d^2y}{dx^2}[/mm] = [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{dy}{dt}*e^x)[/mm] =
> [mm]\bruch{d}{dt}\bruch{dt}{dx}(\bruch{dy}{dt}*e^x)[/mm] =
> [mm]\bruch{dt}{dx}\bruch{d}{dt}(\bruch{dy}{dt}*e^x)[/mm] =
> [mm]e^x*(\bruch{d^2t}{dt^2}*e^x[/mm] +
> [mm]\bruch{dy}{dt}*e^x*\bruch{1}{e^x})[/mm] =
> [mm]e^{2x}*\bruch{d^2y}{dt^2}[/mm] + [mm]e^{x}*\bruch{d^y}{dt}.[/mm]
>
> Nun schreibe ich die DGL für z(t) um und erhalte:
> [mm]t^2 *\bruch{d^2z}{dt^2}[/mm] + [mm]t^2*z[/mm] = [mm]t^2*ln(t)[/mm] - 1,
> und somit:
> [mm]\bruch{d^2z}{dt^2}[/mm] + z = ln(t) - [mm]1/t^2.[/mm]
Das stimmt soweit.
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> Könntet Ihr schauen, ob meine Rechnung richtig ist? Wie
> packe ich nun die DGL für z an - mit Wronski-determinante
> und cos/sin als Fundamentalsystem?
Die DGL.
(*) [mm]\bruch{d^2z}{dt^2}[/mm] + z = ln(t) - [mm]1/t^2.[/mm]
ist eine lineare inhomogene Dgl. 2. Ordnung.
Bestimme zuerst die allgemeine Lösung der zugeh. homogenen Gleichung und dann eien spezielle Lösung von (*)
FRED
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> Bin dankbar für jede Hilfe!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | | Schreibe die DGL y'' - y' + $ [mm] e^{2x}\cdot{}y [/mm] $ - $ [mm] x\cdot{}e^{2x} [/mm] $ + 1 = 0 durch Substitution t = exp(x) und z(t) := y(x) um und löse die daraus resultierende DGL für z. Bestimme alle Lösungen. |
Danke für die schnelle Antwort!
Ich glaube, ich habe doch was falsches hingeschrieben. Muss ich denn die Inhomogenität und den Faktor vor $y$ nicht vorher transformieren: $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] ? Dann würde man nämlich folgendes rausbekommen:
[mm] t^2*\bruch{d^2z}{dt^2} [/mm] + [mm] e^{2t}*z [/mm] = [mm] t*e^{2*t}-1.
[/mm]
Stimmt das jetzt oder transformiere ich hier einfach zu viel rum? Warum ich mit der Aufgabe nicht klar komme ist, weil ich die ursprünglich DGL und die DGL für z mit Maple gelöst habe und es kommen verschieden Lösungen raus. Wobei die homogene DGL hat so oder so das Fundamentalsystem [mm] sin(e^x), cos(e^x) [/mm] für y bzw. sin(t), cos(t) für z. Somit stimmt was mit der Inhomogenität nicht.
Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mo 16.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein erster post war richtig, jetzt hast du anscheinend wieder mit Fehlern rücksubstituiert.
Dass die urspr. Dgl die homogene Lösung [mm] sin(e^x) [/mm] hat seh ich nicht. setz doch [mm] y=sin(e^x) [/mm] in y'' - y' + $ [mm] e^{2x}\cdot{}y=0 [/mm] $
ein!
versuch für die part. Lösung z=a*ln(t)
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 17.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Schreibe die DGL y'' - y' + [mm]e^{2x}\cdot{}y[/mm] - [mm]x\cdot{}e^{2x}[/mm]
> + 1 = 0 durch Substitution t = exp(x) und z(t) := y(x) um
> und löse die daraus resultierende DGL für z. Bestimme
> alle Lösungen.
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Ich glaube, ich habe doch was falsches hingeschrieben. Muss
> ich denn die Inhomogenität und den Faktor vor [mm]y[/mm] nicht
> vorher transformieren: [mm]x \mapsto e^x[/mm] ? Dann würde man
> nämlich folgendes rausbekommen:
>
> [mm]t^2*\bruch{d^2z}{dt^2}[/mm] + [mm]e^{2t}*z[/mm] = [mm]t*e^{2*t}-1.[/mm]
Nein, das ist falsch
>
> Stimmt das jetzt oder transformiere ich hier einfach zu
> viel rum? Warum ich mit der Aufgabe nicht klar komme ist,
> weil ich die ursprünglich DGL und die DGL für z mit Maple
> gelöst habe und es kommen verschieden Lösungen raus.
> Wobei die homogene DGL hat so oder so das Fundamentalsystem
> [mm]sin(e^x), cos(e^x)[/mm]
Das ist Unsinn. Deine ursprüngliche DGL ist nicht linear, daher sind die Begriffe "Homogen" und "Fundamentalsystem " nicht sinnvoll
> für y bzw. sin(t), cos(t) für z. Somit
> stimmt was mit der Inhomogenität nicht.
Gehe so vor:
Die allgemeine Lösung der zu (*) $ [mm] \bruch{d^2z}{dt^2} [/mm] $ + z = ln(t) - $ [mm] 1/t^2. [/mm] $ geh. homogenen Gl. lautet:
$z(t)= [mm] c_1*cos(t)+c_2* [/mm] sin(t)$, [mm] $c_1,c_2 \in \IR$
[/mm]
Wenn Du Leduarts Hinweis folgst, so siehst Du sehr einfach, dass $ln(t)$ eine spezielle Lösung der inhom. Gl. (*) ist.
Die allg. Lösung von (*) lautet also:
$z(t)= [mm] c_1*cos(t)+c_2* [/mm] sin(t)+ln(t)$, [mm] $c_1,c_2 \in \IR$
[/mm]
Wie lautet jetzt die allgemeine Lösung der ursprünglichen DGL ?
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Di 17.08.2010 | | Autor: | MatheZonk |
Hallo und herzlichen Dank für die Hilfe!
Obwohl die symbolische Maple-Lösung der unrspünglichen DGL überhaupt nicht nach [mm] sin(e^x) [/mm] + [mm] cos(e^x) [/mm] + x aussah, sehen die Plots gleich aus. Also passt es jetzt.
Danke noch mal!
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