DGL System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mi 19.02.2014 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | [mm] $\vec{y}' [/mm] = [mm] A\vec{y} [/mm] + [mm] \vec{b}$
[/mm]
[mm] \vec{y}: \IR \to \IR^3, \qquad [/mm] A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 }, \qquad \vec{b}=\pmat{ -x-1 \\ x+2 \\ -2x-4 }
[/mm]
Ansatz zur speziellen Lösung:
[mm] \vec{y}_p [/mm] = [mm] \vec{a}x [/mm] + [mm] \vec{c} \qquad \vec{a},\vec{c} \in \IR^3
[/mm]
Lösen sie das Anfangswertproblem zum AW [mm] \vec{y}(1/6) [/mm] = [mm] \pmat{ 1/6 \\ 2 \\ -1 } [/mm] |
Hallo,
homogene Lösung ist soweit erstmal kein Problem und das stimmt mit den Ergebnissen aus der Lösung auch überein. Nur die partikuläre Lösung kriege ich nicht bestimmt, dadurch das man [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] nicht kennt habe ich zu viele Unbekannte am Ende drin.
Mein Ansatz wäre Ableiten und Einsetzen gewesen. In den Übungen war z.B. [mm] \vec{c} [/mm] ebenfalls gegeben.
Habt ihr da einen Ansatz?
lg moody
|
|
| |
|
Hallo moody,
> [mm]\vec{y}' = A\vec{y} + \vec{b}[/mm]
>
> [mm]\vec{y}: \IR \to \IR^3, \qquad[/mm] A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 4 }, \qquad \vec{b}=\pmat{ -x-1 \\ x+2 \\ -2x-4 }[/mm]
>
> Ansatz zur speziellen Lösung:
>
> [mm]\vec{y}_p[/mm] = [mm]\vec{a}x[/mm] + [mm]\vec{c} \qquad \vec{a},\vec{c} \in \IR^3[/mm]
>
> Lösen sie das Anfangswertproblem zum AW [mm]\vec{y}(1/6)[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1/6 \\ 2 \\ -1 }[/mm]
> Hallo,
>
> homogene Lösung ist soweit erstmal kein Problem und das
> stimmt mit den Ergebnissen aus der Lösung auch überein.
> Nur die partikuläre Lösung kriege ich nicht bestimmt,
> dadurch das man [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] nicht kennt habe ich
> zu viele Unbekannte am Ende drin.
> Mein Ansatz wäre Ableiten und Einsetzen gewesen. In den
> Übungen war z.B. [mm]\vec{c}[/mm] ebenfalls gegeben.
> Habt ihr da einen Ansatz?
>
Der Ansatz hängt davon ab,
ob der konstante Anteil von [mm]\vec{b}[/mm]
Lösung des homogenen DGL-Systems ist.
> lg moody
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:08 Do 20.02.2014 | | Autor: | moody |
Hallo Mathepower,
danke für die fixe Antwort.
Lösung des homogenen Gleichungssystem ist:
[mm] y_h [/mm] = [mm] c_1 \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] c_2 \vektor{-2 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] c_3 e^{6x} \vektor{1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
lg moody
|
|
|
| |
|
Hallo moody,
> Hallo Mathepower,
>
> danke für die fixe Antwort.
>
> Lösung des homogenen Gleichungssystem ist:
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]c_1 \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]c_2 \vektor{-2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> + [mm]c_3 e^{6x} \vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> lg moody
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 20.02.2014 | | Autor: | moody |
Soweit war ich ja schon beim Erstellen der Frage, es geht mir jetzt um die part. Lösung. Auch mit deinem Hinweis ob der konstante Part von der homogenen Lösung abhängt oder nicht kam ich nicht wirklich auf eine Idee. :/ Ich hab da irgendwie noch zu viele Variablen drin.
lg moody
|
|
|
| |
|
Hallo moody,
> Soweit war ich ja schon beim Erstellen der Frage, es geht
> mir jetzt um die part. Lösung. Auch mit deinem Hinweis ob
> der konstante Part von der homogenen Lösung abhängt oder
> nicht kam ich nicht wirklich auf eine Idee. :/ Ich hab da
> irgendwie noch zu viele Variablen drin.
>
[mm]\vec{b}[/mm] ist ein Vektor, dessen
Komponenten ein lineares Polynom sind.
Daher lautet zunächst der Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm]y_{p}=c*x+d, \ c,d \in \IR^{3}[/mm]
Nun, ist noch zu prüfen, ob
[mm]\pmat{-1 \\ 2 \\ -4}[/mm]
Lösung der homogenen DGL ist.
Ist dies der Fall, so iautet der neue Ansatz:
[mm]y_{p}=x*\left(c*x+d\right), \ c,d \in \IR^{3}[/mm]
> lg moody
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Mi 05.03.2014 | | Autor: | moody |
Vielen Dank für die Antwort! Bin noch gar nicht zum Nachrechnen gekommen, werde sonst nochmal Feedback geben ob's geklappt hat :)
lg moody
|
|
|
|
