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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:21 Sa 02.07.2011 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes DGL-System.
[mm] x'=-y+x\cdot sin(x^2+y^2)
[/mm]
[mm] y'=x+y\cdot sin(x^2+y^2)
[/mm]
a) Bestimmen Sie alle periodischen Orbits
b) Skizzieren Sie das Phasenportrait |
Hi! Also... ich habe gedacht, es wäre bei dieser Aufgabe klug, in Polarkoordinaten zu transformieren.
Hab ich getan, es kommt für [mm] x=r\cdot cos(\phi), y=r\cdot sin(\phi)
[/mm]
[mm] r'(t)=r(t)sin(r(t)^2)
[/mm]
[mm] \phi'(t)=1
[/mm]
heraus.
Wie bestimme ich jetzt hier die periodischen Orbits? Kann ich einfach sagen, dass für [mm] \phi(t)=t [/mm] die Periode [mm] 2\pi [/mm] ist, und für die Lösungen [mm] r(t)=\sqrt{\pi\cdot k}, k\in\IN [/mm] die Funktion r konstant bleibt?
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> Gegeben sei folgendes DGL-System.
> [mm]x'=-y+x\cdot sin(x^2+y^2)[/mm]
> [mm]y'=x+y\cdot sin(x^2+y^2)[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie alle periodischen Orbits
> b) Skizzieren Sie das Phasenportrait
> Hi! Also... ich habe gedacht, es wäre bei dieser Aufgabe
> klug, in Polarkoordinaten zu transformieren.
>
> Hab ich getan, es kommt für [mm]x=r\cdot cos(\phi), y=r\cdot sin(\phi)[/mm]
>
> [mm]r'(t)=r(t)sin(r(t)^2)[/mm]
> [mm]\phi'(t)=1[/mm]
>
> heraus.
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> Wie bestimme ich jetzt hier die periodischen Orbits? Kann
> ich einfach sagen, dass für [mm]\phi(t)=t[/mm] die Periode [mm]2\pi[/mm]
> ist, und für die Lösungen [mm]r(t)=\sqrt{\pi\cdot k}, k\in\IN[/mm]
> die Funktion r konstant bleibt?
Hallo Harris,
die Transformation zu Polarkoordinaten habe ich überprüft.
Das Ergebnis stimmt und ist natürlich durch die dadurch
bewirkte Separation der Variablen sehr schön.
Außer [mm] \phi(t)=t [/mm] kommt auch [mm] \phi(t)=t-t_0 [/mm] (mit [mm] t_0\in\IR) [/mm] in Frage.
Dies ist (in Polarkoordinaten) natürlich nicht periodisch,
die Periodizität kommt erst nach Rücktransformation in
das x-y-System zustande.
Deine angegebenen Lösungen mit konstantem r stimmen
ebenfalls, in der x-y-Ebene ergeben sie eine Schar konzentri-
scher Kreise (ist das das "Phasenportrait" ?).
Es fragt sich aber noch, ob es nicht auch noch (ebenfalls
periodische) Lösungen mit nicht konstantem r geben könnte.
LG Al-Chw.
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> Gegeben sei folgendes DGL-System.
> [mm]x'=-y+x\cdot sin(x^2+y^2)[/mm]
> [mm]y'=x+y\cdot sin(x^2+y^2)[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie alle periodischen Orbits
> b) Skizzieren Sie das Phasenportrait
Hallo Harris,
ich habe in meiner ersten Antwort noch die Frage
gestellt, ob es nicht auch noch periodische Lösungen
mit nicht konstantem r geben könnte.
Jetzt habe ich mir zur DGL
[mm] r'(t)=r(t)*sin\left([r(t)]^2\right)
[/mm]
einmal einen Ausschnitt des Richtungsfeldes zeichnen
lassen. Darin kann man zunächst einmal schön die
konstanten Lösungen mit [mm] r=\sqrt{k*\pi} [/mm] erkennen.
Die übrigen Lösungskurven sehen alle so aus, dass
sie sich von einer der konstanten Lösungen (asymp-
totisch) "ablösen" und sich dann wieder asymptotisch
an das nächsthöhere oder -niedrigere konstante
Nivau annähern. Jede solche nicht konstante Lösungs-
kurve ist also entweder streng monoton steigend oder
streng monoton fallend und kann deshalb nicht peri-
odisch sein.
Die Frage nach weiteren Lösungen erledigt sich damit.
Die Betrachtung des Richtungsfeldes könnte man auch
durch eine analytische Überlegung ersetzen. Für meine
Ansprüche genügt mir aber die sehr anschauliche
Argumentation.
LG Al-Chw.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mo 04.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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