Darstellende Matrix Skalarpr. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 So 26.04.2009 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | Betrachten Sie den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich
zwei mit der Basis (1, x, [mm] x^{2}) [/mm] mit dem Skalarprodukt
<p,q> = [mm] \integral_{0}^{1}{p(x)q(x) dx}
[/mm]
Bestimmen Sie die darstellende Matrix des Skalarproduktes bezüglich der angegebenen Basis. |
Hallo zusammen..
mein Problem liegt darin, dass mir eine Funktionsvorschrift für p(x) und q(x) fehlt, oder anders gesagt, ich nicht weiß, wie ich die Basis anwenden kann.. bräuchte da mal einen Hinweis
Lieber Gruß
Sierra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 So 26.04.2009 | | Autor: | pelzig |
Du musst einfach [mm] $\langle f_i, f_j\rangle$ [/mm] ausrechnen für [mm] f_1(x)=1, f_2(x)=x [/mm] und [mm] f_3(x)=x^2 [/mm] für alle [mm] $1\le i,j\le [/mm] 3$. Die Matrix ist dann [mm] $A=(a_{ij})$ [/mm] mit [mm] $a_{ij}:=\langle f_i,f_j\rangle$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 26.04.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo und danke erst einmal für deine Antwort!
Ich bin mir nun nicht ganz sicher ob ich es richtig verstanden habe, deshalb schreibe ich hier nur mal meinen Rechenweg:
[mm] f_{1}*f_{1} [/mm] = 1
[mm] f_{1}*f_{2} [/mm] = x
[mm] f_{1}*f_{3} [/mm] = [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] f_{2}*f_{1} [/mm] = x
[mm] f_{2}*f_{2} [/mm] = [mm] x^{2}
[/mm]
usw. bis [mm] f_{3}*f_{3}=x^{4}
[/mm]
Nun angewandt auf das Skalarprodukt:
[mm] \integral_{0}^{1}{1 dx} [/mm] = 1
[mm] \integral_{0}^{1}{x dx} [/mm] = 1/2
[mm] \integral_{0}^{1}{x^{2} dx} [/mm] = 1/3
usw. bis [mm] \integral_{0}^{1}{x^{4} dx} [/mm] = 1/5
wäre nun die erste Spalte meiner darstellenenden Matrix: [mm] \vektor{1 \\ 1/2 \\ 1/3} [/mm] und die beiden folgenden Spalten halt analog zu obiger Rechnung ?
Gruß Sierra
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Hallo Sierran,
> Hallo und danke erst einmal für deine Antwort!
> Ich bin mir nun nicht ganz sicher ob ich es richtig
> verstanden habe, deshalb schreibe ich hier nur mal meinen
> Rechenweg:
> [mm]f_{1}*f_{1}[/mm] = 1
> [mm]f_{1}*f_{2}[/mm] = x
> [mm]f_{1}*f_{3}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm]
> [mm]f_{2}*f_{1}[/mm] = x
> [mm]f_{2}*f_{2}[/mm] = [mm]x^{2}[/mm]
> usw. bis [mm]f_{3}*f_{3}=x^{4}[/mm]
>
> Nun angewandt auf das Skalarprodukt:
> [mm]\integral_{0}^{1}{1 dx}[/mm] = 1
> [mm]\integral_{0}^{1}{x dx}[/mm] = 1/2
> [mm]\integral_{0}^{1}{x^{2} dx}[/mm] = 1/3
> usw. bis [mm]\integral_{0}^{1}{x^{4} dx}[/mm] = 1/5
>
> wäre nun die erste Spalte meiner darstellenenden Matrix:
> [mm]\vektor{1 \\ 1/2 \\ 1/3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und die beiden folgenden Spalten
> halt analog zu obiger Rechnung ?
Ja, ganz recht, schreibe mal die gesamte Matrix hin ...
>
> Gruß Sierra
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 26.04.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo
ich komme auf folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{1}{2} &\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} &\bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5}}
[/mm]
sieht sehr symmetrisch aus :P
stimmt das denn so ?
Gruß Sierra
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Hallo nochmal,
> Hallo
>
> ich komme auf folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & \bruch{1}{2} &\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} &\bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{1}{4} & \bruch{1}{5}}[/mm]
>
> sieht sehr symmetrisch aus :P
Ist ja auch ein symmetrische (positiv definite) Bilinearform [mm] $\langle p,q\rangle=\langle q,p\rangle$
[/mm]
> stimmt das denn so ?
>
Ja, bestens
> Gruß Sierra
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 26.04.2009 | | Autor: | Sierra |
Das hört sich ja schon mal gut an :)
Nur um ganz sicher zu gehen, die Aufgabe ginge nämlich weiter. Ich soll nun das Gram Schmidt Verfahren auf die Basis anwenden.
Ich kann doch nun einfach jede Spalte der darstellenenden Matrix als einen aufgespannten Unterraum betrachten und hätte dann ganz einfach drei Vektoren, auf die ich das Verfahren anwende.. ?
Gruß Sierra
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Hallo nochmal,
> Das hört sich ja schon mal gut an :)
> Nur um ganz sicher zu gehen, die Aufgabe ginge nämlich
> weiter. Ich soll nun das Gram Schmidt Verfahren auf die
> Basis anwenden.
> Ich kann doch nun einfach jede Spalte der darstellenenden
> Matrix als einen aufgespannten Unterraum betrachten und
> hätte dann ganz einfach drei Vektoren, auf die ich das
> Verfahren anwende.. ?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") was genau meinst du hier?
Wenn oben steht, dass du GS auf die Basis [mm] $\{1,x,x^2\}$ [/mm] anwenden sollst, dann mache das doch auch ...
Für das Verfahren musst du nur beachten, dass du das in der Aufgabenstellung definierte Skalarprodukt nimmst, sonst alles nach Schema X
>
> Gruß Sierra
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 26.04.2009 | | Autor: | Sierra |
hmmm... ich schreib einfach mal, wie ich das nun gemacht habe...
Also ich gehe ganz normal nach dem Gram Schmidt Verfahren:
[mm] p_{0}=1
[/mm]
[mm] p_{1}= [/mm] x - [mm] \bruch{\integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1 [/mm] = x - 1/2
[mm] p_{2}= x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{\integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x [/mm] - [mm] \bruch{\integral_{0}^{1}{x^{2}*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1 [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] - 0,75x - 1/3
ist das einigermaßen richtig?
Gruß Sierra
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Hallo nochmal,
> hmmm... ich schreib einfach mal, wie ich das nun gemacht
> habe...
> Also ich gehe ganz normal nach dem Gram Schmidt Verfahren:
> [mm]p_{0}=1[/mm]
> [mm]p_{1}=[/mm] x - [mm]\bruch{\integral_{0}^{1}{x*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1[/mm]
> = x - 1/2
> [mm]p_{2}= x^{2}[/mm] - [mm]\bruch{\integral_{0}^{1}{x^{2}*x dx}}{\integral_{0}^{1}{x*x dx}}*x[/mm]
> - [mm]\bruch{\integral_{0}^{1}{x^{2}*1 dx}}{\integral_{0}^{1}{1*1 dx}}*1[/mm]
> = [mm]x^{2}[/mm] - 0,75x - 1/3 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du einige falsche Skalarprodukte berechnet (bzw. dir falsche zum berechnen hingeschrieben)
Zu berechnen ist [mm] $p_3=x^2-\frac{\langle x^2,1\rangle}{\langle 1,1\rangle}\cdot{}1-\frac{\langle x^2,\left(x-\frac{1}{2}\right)\rangle}{\langle{\left(x-\frac{1}{2}\right),\left(x-\frac{1}{2}\right)\rangle}}\cdot{}\left(x-\frac{1}{2}\right)$
[/mm]
Als Kontrolle komme ich auf die Schnelle auf [mm] $p_3=x^2-x+\frac{1}{6}$
[/mm]
Zur Selbstkontrolle kannst du ja schauen, ob die neu errechneten Basisvektoren [mm] $1,(x-\frac{1}{2}),p_3$ [/mm] paarweise orthogonal sind (bzgl. der hier gegebenen Skalarproduktes) ...
> ist das einigermaßen richtig?
>
> Gruß Sierra
LG
schachuzipus
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 So 26.04.2009 | | Autor: | Sierra |
Gut, dass ich gefragt habe :P
Vielen Dank für deine Mühe Schachuzipus !
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