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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Sa 26.07.2008 | | Autor: | F22 |
| Aufgabe | Für welche [mm] t \in \IR [/mm] ist die Matrix
[mm]\pmat{ 2 & 1 & t \\ 1 & 4 & 2 \\ t & 2 & 4 }[/mm]
positiv definit? |
Hallo,
Danke, dass du dir die Zeit für meine Frage nimmst.
Bei der o.g. Aufgabe fehlt mir ein bisschen der "Trick".
Man könnte zwar die Eigenwerte berechnen und [mm] t [/mm] so bestimmen, dass [mm] \lambda > 0 [/mm] aber das wäre ein ziemlicher Aufwand und wenn man bedenkt, dass diese Aufgabe nur 1/12 der Punkte einer alten Klausur ausmacht, ist anzunehmen, dass es einen einfacheren Weg gibt.
Hat jemand ne Idee?
Vielen Dank
F22
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> Für welche [mm]t \in \IR[/mm] ist die Matrix
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> [mm]\pmat{ 2 & 1 & t \\ 1 & 4 & 2 \\ t & 2 & 4 }[/mm]
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> positiv definit?
> Hallo,
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> Danke, dass du dir die Zeit für meine Frage nimmst.
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> Bei der o.g. Aufgabe fehlt mir ein bisschen der "Trick".
> Man könnte zwar die Eigenwerte berechnen und [mm]t[/mm] so
> bestimmen, dass [mm]\lambda > 0[/mm] aber das wäre ein ziemlicher
> Aufwand
Führt auf die Diskussion der Vorzeichen der Lösungen einer kubischen[!] Gleichung: dieser Weg sieht also, zumindest auf den ersten Blick, ganz ungünstig aus.
> und wenn man bedenkt, dass diese Aufgabe nur 1/12
> der Punkte einer alten Klausur ausmacht, ist anzunehmen,
> dass es einen einfacheren Weg gibt.
Welche Möglichkeit kennst Du denn sonst noch, um die Anzahl positiver/negativer Eigenwerte einer symmetrischen Matrix zu bestimmen? (Tipp: Hauptminoren - Hurwitz-Kriterium)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 So 27.07.2008 | | Autor: | F22 |
Guten Morgen,
ich hab hier 3 Bücher liegen, konnte aber in keinem etwas zum Thema "Hurwitz-Kriterium" oder "Hauptminoren" finden.
Ist es viel zu erklären?
Danke
F
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> Guten Morgen,
>
> ich hab hier 3 Bücher liegen, konnte aber in keinem etwas
> zum Thema "Hurwitz-Kriterium" oder "Hauptminoren" finden.
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> Ist es viel zu erklären?
Hallo,
Du findest das z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier, Absatz 2.3.
Die Hauptminoren sind die Determinanten der linken oberen Untermatrizen.
In Deinem Beispiel müßtest du also die Determinanten von $ [mm] \pmat{ 2 & 1 & t \\ 1 & 4 & 2 \\ t & 2 & 4 } [/mm] $ , $ [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 4 } [/mm] $ und (2) berechnen.
Sind sie alle positiv, so ist die Matrix positiv definit,
sind die geraden (hier: 2. Hauptminore) positiv, die ungeraden negativ, so ist die Matrix negativ definit.
Dieses Kriterium macht die Lösung Deiner Aufgabe recht einfach - vielleicht hat's bei Euch noch einen anderen Namen gehabt.
Gruß v. Angela
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