Definition "Einbettung" < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Seien X, Y normierte topologische Vektorräume mit verschiedenen Topologien, X sei Untervektorraum von Y. Ich habe zwei verschiedene Definitionen für "X ist eingebettet in Y".
1) X ist eingebettet in Y, wenn es eine lineare, stetige und injektive Funktion f: X [mm] \to [/mm] Y gibt.
2) X ist eingebettet in Y, wenn die Identität I: X [mm] \to [/mm] Y, I(x):=x stetig ist.
Meine Frage ist: Sind diese Definitionen äquivalent? 2 => 1 ist klar, aber für 1 => 2 finde ich keinen Beweis und ich frage mich, ob 1 => 2 überhaupt gilt.
Ich habe die Frage im Unterforum Funktionalanalysis gestellt, weil sich die Frage in dem Bereich für mich stellt. Wenn jemand ein besseres Unterforum kennt, kann die Frage gerne verschoben werden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Fr 04.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Seien X, Y normierte topologische Vektorräume mit
> verschiedenen Topologien, X sei Untervektorraum von Y. Ich
> habe zwei verschiedene Definitionen für "X ist eingebettet
> in Y".
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> 1) X ist eingebettet in Y, wenn es eine lineare, stetige
> und injektive Funktion f: X [mm]\to[/mm] Y gibt.
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> 2) X ist eingebettet in Y, wenn die Identität I: X [mm]\to[/mm] Y,
> I(x):=x stetig ist.
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> Meine Frage ist: Sind diese Definitionen äquivalent? 2 =>
> 1 ist klar, aber für 1 => 2 finde ich keinen Beweis und
> ich frage mich, ob 1 => 2 überhaupt gilt.
Wenn X ein Untervektorraum von Y ist, sind diese beiden Definitionen äquivalent.
Die Definition 1) ist in dem Sinne weitergehend, dass sie die Voraussetzung
X ist ein Untervektorraum von Y nicht braucht.
Für 1) => 2)
Da f injektiv ist, gibt es eine Abbildung g: f(X) [mm] $\to$ [/mm] X, mit
[mm] (g$\circ$f)(x) [/mm] = x.
Jetzt fehlt nur noch die Stetigkeit dieser Abblidung.
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> Ich habe die Frage im Unterforum Funktionalanalysis
> gestellt, weil sich die Frage in dem Bereich für mich
> stellt. Wenn jemand ein besseres Unterforum kennt, kann die
> Frage gerne verschoben werden.
Gruß
meili
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