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| Aufgabe | | Handelt es sich bei der Form [mm] N*\bruch{\Gamma*(x-x_{0})^{2}}{((x-x_{0})^{2}+\Gamma^{2})^{2}} [/mm] mit [mm] \Gamma\to0 [/mm] um eine Darstellung der Delta-Distribution? Wie lautet der Normierungsfaktor N? |
Ich schaffe es die Form in einen Anteil mit Breit-Wigner-Form und einen "Restterm" zu zerlegen. Die Breit-Wigner-Form gilt ja als Darstellung der Delta-Distribution, aber was ist mit dem Rest? Oder muss man die Zerlegung evtl. garnicht machen sondern kann es auf einem anderen Weg zeigen? Dann waere der zweite Aufgabenteil auch sinnvoll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Di 27.02.2007 | | Autor: | wauwau |
> Handelt es sich bei der Form
> [mm]N*\bruch{\Gamma*(x-x_{0})^{2}}{((x-x_{0})^{2}+\Gamma^{2})^{2}}[/mm]
> mit [mm]\Gamma\to0[/mm] um eine Darstellung der Delta-Distribution?
> Wie lautet der Normierungsfaktor N?
> Ich schaffe es die Form in einen Anteil mit
> Breit-Wigner-Form und einen "Restterm" zu zerlegen. Die
> Breit-Wigner-Form gilt ja als Darstellung der
> Delta-Distribution, aber was ist mit dem Rest? Oder muss
> man die Zerlegung evtl. garnicht machen sondern kann es auf
> einem anderen Weg zeigen? Dann waere der zweite
> Aufgabenteil auch sinnvoll.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
du brauchst ja im Prinzip N nur so zu wählen dass
[mm]N*\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{\Gamma*(x-x_{0})^{2}}{((x-x_{0})^{2}+\Gamma^{2})^{2}} dx}=1 [/mm] mit [mm]\Gamma\to0[/mm]
oder aber durch die Translationsinvarianz und der Symmetrie des Integranden
[mm]2N*\integral_{0}^{\infty}{\bruch{\Gamma*x^{2}}{(x^{2}+\Gamma^{2})^{2}} dx}=1[/mm] mit [mm] \Gamma\to0[/mm]
Substitution mit [mm]x = \Gamma*tg(y)[/mm] eliminiert das [mm] \Gamma [/mm] und
ergibt
[mm] 2N*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin^{2}(x)dx}=1[/mm] mit [mm] \Gamma\to0[/mm]
und daraus da
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin^{2}(x)dx} = \bruch{\pi}{4}[/mm]
[mm]N = \bruch{2}{\pi}[/mm]
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