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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:40 Do 04.05.2006 | | Autor: | Centaur |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien A, B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K).
1. Zeige [mm] \Phi(M) [/mm] = AMB ist ein Endomorphismus des K-Vektorraumes [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, K).
2. Berechne die Wirkung von [mm] \Phi [/mm] auf die Matrixeinheiten.
3. Bestimme nun die Determinante von [mm] \Phi [/mm] als Funktion von det(A) und det(B) |
Hallo allerseits, ich sitze seit längerer Zeit an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Falls mir jemand weiterhelfen könnte, wäre ich sehr, sehr dankbar.
Der erste Aufgabenteil ist klar. Ich habe einerseits die Linearität durch Nachrechnen und das Abgebildetwerden von (AMB) auf M(n [mm] \times [/mm] n, K) durch Matrizenmultiplikation begründet.
Beim zweiten Aufgabenteil habe ich eine Matrixeinheit [mm] E_{i,j} [/mm] eingesetzt und erhalte:
[mm] \Phi(E_{i,j}) [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1,i}b_{j,1} \ldots & a_{1,i}b_{j,n} \\ a_{2,i}b_{j,1} \ldots & a_{2,i}b_{j,n} \\ \vdots \\ a_{n,i}b_{j,1} \ldots & a_{n,i}b_{j,n}}
[/mm]
Dieses Ergebnis will ich irgendwie für die dritte Aufgabe nutzen. Doch da fängt es an bei mir schwammig zu werden. Durch Probieren für n=2 vermute ich übrigens, dass die Lösung [mm] (detA)^n(detB)^n [/mm] ist.
Wege, die ich verfolgt habe:
(i)
Ich habe versucht die einzelnen Einträge von [mm] \Phi(E_{i,j}) [/mm] als Linearkombination von Matrixeinheiten darzustellen und mir dann eine Basis:
E = [mm] \{E_{1,1}, E_{1,2}, ... , E_{2,1}, ..., E_{n,n}\} [/mm]
gewählt. Das müsste ich doch eigentlich können, oder? Ich bin in diesen Sachen noch nicht ganz firm. Dann wird nur leider die n² [mm] \times [/mm] n²-Matrix, die [mm] \Phi [/mm] zur Basis E ausführt, sehr kompliziert.
Gut ich kann noch Blöcke innerhalb der n² [mm] \times [/mm] n²- Matrix zusammenfassen und erhalte eine n [mm] \times [/mm] n-Matrix, deren Einträge wiederrum Matrizen sind :
[mm] \pmat{ a_{1,1}B^{T} \ldots & a_{1,n}B^{T} \\ \vdots \\a_{n,1}B^{T} \ldots & a_{n,n}B^{T} } [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1,1}E_{n} \ldots & a_{1,n}E_{n} \\ \vdots \\a_{n,1}E_{n} \ldots & a_{n,n}E_{n} } \pmat{ B^{T} \\ &\ddots \\ & & B^{T}}
[/mm]
Auch wenn, dass dies meiner vermuteten Lösung schon irgendwie ähnlich sieht, kenne ich keine Sätze über Blockmatrizen, die mir hier von Nutzen sind. Stünden da statt [mm] B^{T} [/mm] Skalare, dann wäre es etwas klarer...
(ii)
Dann habe ich mir auch noch überlegt: [mm] \Phi(E_{i,j}) [/mm] lässt sich auch noch etwas anders schreiben:
[mm] \Phi(E_{i,j}) [/mm] = [mm] \pmat{ a_{1,1} \ldots & a_{1,n} \\ \vdots \\a_{n,1} \ldots & a_{n,n} } \pmat{ b_{j,1} \\ &\ddots \\ & & b_{j,n} }
[/mm]
D. h. ich könnte [mm] \Phi(E_{i,j}) [/mm] schreiben als:
[mm] \Phi(E_{i,j}) [/mm] =
[mm] [a_{1,i}E_{1,1} [/mm] + [mm] a_{1,i}E_{1,2} [/mm] +...+ [mm] a_{1,i}E_{1,n}
[/mm]
+...+
[mm] +a_{n,i}E_{n,1} [/mm] + [mm] a_{n,i}E_{n,2} [/mm] +...+ [mm] a_{n,i}E_{n,n} [/mm] ] * [mm] [b_{j,1}E_{1,1} [/mm] + [mm] b_{j,2}E_{2,2} [/mm] +...+ [mm] b_{j,n}E_{n,n}]
[/mm]
Jetzt könnte ich zwar ausmultiplizieren, aber hilft mir das weiter? Oder bin ich komplett auf dem falschen Dampfer...?
Wie gesagt, falls irgendwer zufällig ein paar freie Minuten hat, würde ich mich sehr freuen.
Chris
Und ach ja:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 06.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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