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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | $ [mm] \phi: \sigma_n [/mm] $ -> $ [mm] GL_n (\IK), \phi (\sigma) :=(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) [/mm] $ bildet einen Gruppenhomomorphismus bildet. ($ [mm] \phi(\sigma \circ \sigma' [/mm] $ ) = $ [mm] \phi(\sigma) \phi(\sigma') [/mm] $ für je zwei Permutationen $ [mm] \sigma, \sigma' \in \sigma_n [/mm] $)
SChließe daraus [mm] sgn(\sigma) [/mm] = [mm] det(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)}) [/mm] für jede Permutation [mm] \sigma \in \sigma_n [/mm] |
Von der Vorlesung weiß ich, dass sgn einen Homomorphismus [mm] \sigma_n ->\{1,-1\} [/mm] bildet., der alle Transpositionne auf -1 abbildet.
Jede Permutation kann außerdem als Produkt von Transpositionen geschrieben werden.
[mm] sgn(\tau \circ \tau...) =det(e_{\tau \circ \tau...(1)},...,e_{\tau \circ \tau...(n)})
[/mm]
[mm] -1=det(e_{\tau \circ \tau...(1)},...,e_{\tau \circ \tau...(n)})
[/mm]
Ich weiß ja nicht ob [mm] \sigma [/mm] durch eine gerade oder ungerade anzahl von Transpositionen beschrieben wird. Die Formel [mm] sgn(\sigma \circ \tau) [/mm] = - [mm] sgn(\sigma) [/mm] ist mir bekannt aber ich weiß nicht ob sie hier brauchbar ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Fr 23.03.2012 | | Autor: | hippias |
Ich wuerde hier so vorgehen:
1. Mache Dir klar, dass [mm] $\det \phi (\sigma)$ [/mm] ebenfalls ein Homomorphismus [mm] $\to \{-1,1\}$ [/mm] ist.
2. Zeige, dass fuer eine Transposition [mm] $\tau$ [/mm] ebenfalls [mm] $\det \phi (\tau)= [/mm] -1$ gilt.
3. Ueberlege Dir, dass ein Homorphismus [mm] $:\Sigma_{n}\to \{-1,1\}$ [/mm] mit der Eigenschaft, dass jede Transposition auf $-1$ abgebildet wird, eindeutig bestimmt ist.
Aus 2. und 3. ergibt sich dann, dass [mm] $\det\phi$ [/mm] und die Signumabbildung gleich sein muessen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
> 1. Mache Dir klar, dass [mm]\det \phi (\sigma)[/mm] ebenfalls ein
> Homomorphismus [mm]\to \{-1,1\}[/mm] ist.
Multiplikativität der Determinante
[mm] det(\phi(\sigma) [/mm] * [mm] \phi(\sigma')) [/mm] = [mm] det(\phi(\sigma)) [/mm] * [mm] det(\phi(\sigma')) [/mm]
Odre muss ich da nicht das [mm] \sigma [/mm] sondern das [mm] \phi [/mm] anders wählen?
> 2. Zeige, dass fuer eine Transposition [mm]\tau[/mm] ebenfalls [mm]\det \phi (\tau)= -1[/mm]
det [mm] \phi(\tau) [/mm] = [mm] det(e_{\tau},..,e_{\tau})
[/mm]
Die Transposition muss doch immer zwei Elemente vertauschen und die anderen fix lassen, wie weiß ich welche Elemente die Transposition vertauscht?
> gilt.
> 3. Ueberlege Dir, dass ein Homorphismus [mm]:\Sigma_{n}\to \{-1,1\}[/mm]
> mit der Eigenschaft, dass jede Transposition auf [mm]-1[/mm]
> abgebildet wird, eindeutig bestimmt ist.
>
> Aus 2. und 3. ergibt sich dann, dass [mm]\det\phi[/mm] und die
> Signumabbildung gleich sein muessen.
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:01 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
Ich hab das nun nochmals anders versucht:
[mm] A=((e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)}) [/mm]
In der i-ten SPalte von A ist der [mm] \sigma(i)-te [/mm] Eintrag
[mm] \sigma [/mm] kann als Komposition von Transpositionen dargestellt werden
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \tau_1 \circ [/mm] .. [mm] \circ \tau_n
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \tau_{i_1,j_1}\circ [/mm] ... [mm] \circ \tau_{i_k,j_k}
[/mm]
Vertauscht in A die Spate [mm] i_k [/mm] und [mm] j_k,..., i_2 [/mm] und [mm] j_2 [/mm] und [mm] i_1 [/mm] und [mm] j_1
[/mm]
[mm] sgn(\sigma) [/mm] = [mm] sgn(\tau_{i_1,j_1}\circ [/mm] ... [mm] \circ \tau_{i_k,j_k}) [/mm] = [mm] (-1)^k
[/mm]
ensteht dadurch die Einheitsmatrix???
det(A)= [mm] (-1)^k [/mm] * [mm] det(I_n) [/mm] = [mm] sgn(\sigma) [/mm] * 1
Ich habe aber gar nicht, wie in der Angabe verlangt, den Gruppenhomomorphismus verwendet:
$ [mm] \phi: \sigma_n [/mm] $ -> $ [mm] GL_n (\IK), \phi (\sigma) :=(e_{\sigma(1)}|...|e_{\sigma(n)}) [/mm] $ bildet einen Gruppenhomomorphismus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 25.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Sa 24.03.2012 | | Autor: | hippias |
zu 1. Genau, Du gebrauchst im wesentlichen die Multiplikativitaet der Determinante:Ich haette es so aufgeschrieben: Seinen [mm] $\sigma, \sigma'\in \Sigma_{n}$. [/mm] Dann ist [mm] $\det(\phi(\sigma\sigma))= \det(\phi(\sigma)\phi(\sigma))$, [/mm] da [mm] $\phi$ [/mm] Homomorphismus ist; weiter [mm] $\det(\phi(\sigma)\phi(\sigma))= \det(\phi(\sigma))\det(\phi(\sigma))$, [/mm] da [mm] $\det$ [/mm] multiplikativ ist.
zu 2. Bezeichne die von [mm] $\tau$ [/mm] vertauschten Zahlen mit $i$ und $j$. Die Matrix [mm] $\phi(\tau)$ [/mm] entsteht nun, indem Du in der Einheitsmatrix die $i$-te mit $j$-ten Spalte vertauschst. Wenn Du nicht bereits weisst, dass die Determinante durch Vertauschung zweier Spalten nur ihr Vorzeichen aendert - man sagt die Form ist alternierend - dann koenntest Du auch den Entwicklungssatz oder die Leibniz-Formel benutzen, um den die Determinante $=-1$ zu berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Sa 24.03.2012 | | Autor: | sissile |
Jetzt hab ich endlich verstanden, warum wir das zeigen! ;)
Punkt 1,3 ist klar
> > 2. Zeige, dass fuer eine Transposition $ [mm] \tau [/mm] $ ebenfalls $ [mm] \det \phi (\tau)= [/mm] -1 $
det $ [mm] \phi(\tau) [/mm] $ = $ [mm] det(e_{\tau},..,e_{\tau}) [/mm] $
> Die Matrix $ [mm] \phi(\tau) [/mm] $ entsteht nun, indem Du in der Einheitsmatrix die $ i $-te mit $ j $-ten Spalte vertauschst.
Man tauscht doch hier viel mehr. Eine Transposition steht doch unter JEDEN einheitsvektor?
> Wenn Du nicht bereits weisst, dass die Determinante durch Vertauschung zweier Spalten nur ihr Vorzeichen aendert
Doch, doch das weiß ich. Mein problem ist eher das oben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Sa 24.03.2012 | | Autor: | hippias |
Nach meiner Erinnerung ist [mm] $\phi(\sigma)= (e_{\sigma(1)},\ldots, e_{\sigma(n)})$, [/mm] wobei [mm] $e_{k}$ [/mm] der $k$-te Einheitsspaltenvektor ist. Die Transposition [mm] $\tau$, [/mm] die etwa $1$ und $n$ vertauscht, laesst alles andere fest, sodass [mm] $\phi(\tau)= (e_{\tau(1)},\ldots, e_{\tau(n)})= (e_{n},e_{2},\ldots, e_{n-1}, e_{1})$ [/mm] waere - die Einheitsmatrix, in der die erste und letzte Spalte vertauscht wurde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 24.03.2012 | | Autor: | sissile |
Aber ich habe doch mehere Transpositionen gegeben.
Es ist klar, dass eine Transposition alle elemente fix lässt und zwei vertauscht.
Aber wenn ich mehrere Transpositionen habe vertauschen sich doch bei jeweils einer Transposition die SPalten.
Und wir haben ja n-Transpositionen.?
Wo ist mein denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 25.03.2012 | | Autor: | hippias |
Das war wohl unser beider Denkfehler: Ich war noch bei dem Beweis von [mm] $\det\phi(\tau)= [/mm] -1$, falls [mm] $\tau$ [/mm] Transposition ist. Mit diesem Ergebnis und der Multiplikativitaet der Determinante folgt dann das entsprechende Resultat fuer mehrere Transpositionen; insbesondere ergibt sich, dass [mm] $\det\phi$ [/mm] und die Signumfunktion uebereinstimmen.
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