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| Aufgabe | a)Zeigen Sie, dass die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 4 \\ 3 & 6 } [/mm] keine InverseBesitz.
b)Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, das zu A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
eine inverse Matrix [mm] A^{-1} [/mm] existiert. Sellen Sie für diesen Fall [mm] A^{-1} [/mm] durch a,b,c,d dar. |
Hey, habe da ein kleines Verständnisproblem.
Also die a) krieg ich noch hin. Da detA=0 =>A ist nicht regulär => A besitzt keine Inverse
Bei der b) habe ich für die Bedingung [mm] detA\not= [/mm] 0 bzw. [mm] ad\not= [/mm] cb. Wie ich jetzt aber allgemeindie Inverse Matrix [mm] A^{-1} [/mm] darstellen soll verstehe ich nicht. Hoffe da auf paar Ideen^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Invertiere einfach die Matrix, Stichwort Gauß-Algorithmus. Du wirst sehen, dass diese Rechnung genau dann durchführbar ist, wenn die Determinante nicht verschwindet. Das Ergebnis ist soweit ich mich recht erinnere [mm] $$\frac{1}{ad-bc}\cdot\pmat{d&-b\\-c&a}$$ [/mm] oder so ähnlich. Es gibt eine allgemeine Formel dafür, nennt sich Cramersche Regel, ist aber für größere Matrizen praktisch nicht mehr berechenbar.
Gruß, Robert
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Kommt man da auch ohne eine Formel zum Ergebnis? zb durch Umformen nach einer Identitätsmatrix?
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Hallo
> Kommt man da auch ohne eine Formel zum Ergebnis? zb durch
> Umformen nach einer Identitätsmatrix?
Ja natürlich.
Wenn die Matrix in (a) invertierbar wäre, so könntest du sie mit elementaren Zeilenumformungen (Gaußalgorithmus) in die Einheitsmatrix überführen.
Probiere das mal, dann wirst du direkt nach dem ersten Schritt in der zweiten Zeile eine Nullzeile erhalten...
Andere Argumentation, die sich ebenfalls des Gaußalgorithmus bedient:
Mit der so erhaltenen Nullzeile hat die Matrix Rang 1, also nicht den vollen Rang 2 und ist daher nicht invertierbar
PS: Genauso tun es Spaltenumformungen, da sieht man es noch schneller.
Hier sieht man direkt, dass die 1. und 2.Spalte linear abhängig sind (da Vielfache voneinander), also kann die Matrix nicht invertierbar sein (Spaltenrang=1=Zeilenrang=Rang<2)
Gruß
schachuzipus
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