Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Fr 25.04.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Entscheiden sie, ob die folgenden Matritzen diagonalisierbar sind.
a) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 } [/mm] b) [mm] \pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6} [/mm] c) [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -6 \\ 1 & 2 & 5} [/mm] |
Wenn ich das richtig verstanden habe ist eine Matrix dann diagonalisierbar, wenn die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist.
zur algebraischen vielfachheit: d.i. die potenzen des eigenwertes [mm] \lambda_{i}
[/mm]
daher habe ich zunächst die eigenwerte bestimmt.
diese ergeben sich aus a: [mm] (1-t)(2-t)(3-t)^2 [/mm] b: [mm] -(t+1)(t-2)^2 [/mm] c: [mm] -(t-1)(t-2)^2
[/mm]
- muss ich da nun die potenzen aller eigenwerte zusammenrechnen oder die höchste nehmen?
- wie komme ich auf die formel zu a? (hab die in nem buch gefunden)
geometrischen vielfachheit: d.i. die dimension des eigenraumes zum eigenvektor [mm] \lambda_{i}
[/mm]
- wenn dem so ist dann kann ich doch aber zu jedem [mm] \lambda_{i} [/mm] einen eigenraum bestimmen. somit habe ich ja i möglichkeiten für die geometrische vielfachheit. das leuchtet mir nicht so richtig ein.
mfg maxi
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Hallo maxi,
> Entscheiden sie, ob die folgenden Matritzen
> diagonalisierbar sind.
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> a) [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
> b) [mm]\pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6}[/mm] c) [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -6 \\ 1 & 2 & 5}[/mm]
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe ist eine Matrix dann
> diagonalisierbar, wenn die algebraische gleich der
> geometrischen Vielfachheit ist.
>
> zur algebraischen vielfachheit: d.i. die potenzen des
> eigenwertes [mm]\lambda_{i}[/mm]
>
> daher habe ich zunächst die eigenwerte bestimmt.
>
> diese ergeben sich aus a: [mm](1-t)(2-t)(3-t)^2[/mm] b:
> [mm]-(t+1)(t-2)^2[/mm] c: [mm]-(t-1)(t-2)^2[/mm]
>
> - muss ich da nun die potenzen aller eigenwerte
> zusammenrechnen oder die höchste nehmen?
> - wie komme ich auf die formel zu a? (hab die in nem buch
> gefunden)
>
Die Determinante einer Dreiecksmatrix, wie hier, ist das Produkt ihrer Diagonalelemente.
Allgemein bildet man det[mm]\left(A-t*I\right)[/mm], wobei I die Einheitsmatrix ist, und löst dann det[mm]\left(A-t*I\right)=0[/mm]
Daraus ergeben sich die Eigenwerte samt algebraischer Vielfachheit.
>
> geometrischen vielfachheit: d.i. die dimension des
> eigenraumes zum eigenvektor [mm]\lambda_{i}[/mm]
>
> - wenn dem so ist dann kann ich doch aber zu jedem
> [mm]\lambda_{i}[/mm] einen eigenraum bestimmen. somit habe ich ja i
> möglichkeiten für die geometrische vielfachheit. das
> leuchtet mir nicht so richtig ein.
Aus der Gleichung det[mm]\left(A-\lambda*I\right)=0[/mm] bekommst Du die Eigenwerte [mm]\lambda_{i}[/mm]. Dann bestimmst Du die Dimension von [mm] Kern\left(A-\lamba_{i}*I\right)=0.
[/mm]
Die Gleichheit der algebraischen und geometrischen Vielfachheit ist auf den Eigenwert bezogen.
Ist für einen Eigenwert die geometrische Vielfachheit kleiner als die algebraische Vielfachheit, so ist die entsprechende Matrix nicht diagonalisierbar.
>
> mfg maxi
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 25.04.2008 | | Autor: | maxi85 |
> Hallo maxi,
>
> > Entscheiden sie, ob die folgenden Matritzen
> > diagonalisierbar sind.
> >
> > a) [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 }[/mm]
> > b) [mm]\pmat{ -5 & 0 & 7 \\ 6 & 2 & -6 \\ -4 & 0 & 6}[/mm] c) [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -6 \\ 1 & 2 & 5}[/mm]
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> >
> > Wenn ich das richtig verstanden habe ist eine Matrix dann
> > diagonalisierbar, wenn die algebraische gleich der
> > geometrischen Vielfachheit ist.
> >
> > zur algebraischen vielfachheit: d.i. die potenzen des
> > eigenwertes [mm]\lambda_{i}[/mm]
> >
> > daher habe ich zunächst die eigenwerte bestimmt.
> >
> > diese ergeben sich aus a: [mm](1-t)(2-t)(3-t)^2[/mm] b:
> > [mm]-(t+1)(t-2)^2[/mm] c: [mm]-(t-1)(t-2)^2[/mm]
> >
> > - muss ich da nun die potenzen aller eigenwerte
> > zusammenrechnen oder die höchste nehmen?
> > - wie komme ich auf die formel zu a? (hab die in nem
> buch
> > gefunden)
> >
>
> Die Determinante einer Dreiecksmatrix, wie hier, ist das
> Produkt ihrer Diagonalelemente.
>
> Allgemein bildet man det[mm]\left(A-t*I\right)[/mm], wobei I die
> Einheitsmatrix ist, und löst dann det[mm]\left(A-t*I\right)=0[/mm]
>
> Daraus ergeben sich die Eigenwerte samt algebraischer
> Vielfachheit.
Vielen dank, soweit verstanden. nur eine kurze nachfrage: wie genau ergibt sich / was genau ist die algebraische vielfachheit denn nun? (die anzahl der eigenwerte, die vielfachheit eines eigenwertes oder was dazwischen?)
> >
> > geometrischen vielfachheit: d.i. die dimension des
> > eigenraumes zum eigenvektor [mm]\lambda_{i}[/mm]
> >
> > - wenn dem so ist dann kann ich doch aber zu jedem
> > [mm]\lambda_{i}[/mm] einen eigenraum bestimmen. somit habe ich ja i
> > möglichkeiten für die geometrische vielfachheit. das
> > leuchtet mir nicht so richtig ein.
>
> Aus der Gleichung det[mm]\left(A-\lambda*I\right)=0[/mm] bekommst Du
> die Eigenwerte [mm]\lambda_{i}[/mm]. Dann bestimmst Du die Dimension
> von [mm]Kern\left(A-\lamba_{i}*I\right)=0.[/mm]
>
> Die Gleichheit der algebraischen und geometrischen
> Vielfachheit ist auf den Eigenwert bezogen.
>
> Ist für einen Eigenwert die geometrische Vielfachheit
> kleiner als die algebraische Vielfachheit, so ist die
> entsprechende Matrix nicht diagonalisierbar.
>
> >
> > mfg maxi
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo maxi85,
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> Vielen dank, soweit verstanden. nur eine kurze nachfrage:
> wie genau ergibt sich / was genau ist die algebraische
> vielfachheit denn nun? (die anzahl der eigenwerte, die
> vielfachheit eines eigenwertes oder was dazwischen?)
>
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Vielfachheit, in der er als NST im charakteristischen Polynom auftritt
Bsp. [mm] $cp(\lambda)=\lambda(\lambda-\lambda_1)^3$
[/mm]
Die algebraische VFH von [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist also 1, die von [mm] $\lambda=\lambda_1$ [/mm] ist 3
Die geometrische VFH hingegen ist die Dimension des Eigenraumes zum jeweiligen Eigenwert
LG
schachuzipus
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