matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - EigenwerteDiagonalmatrix aus Eigenvektor
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Diagonalmatrix aus Eigenvektor
Diagonalmatrix aus Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Diagonalmatrix aus Eigenvektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Di 01.11.2016
Autor: MacMac512

Aufgabe
Sei [mm] \psi [/mm] der Endomorphismus [mm] \psi: \rightarrow [/mm] M [mm] \cdot [/mm] v des [mm] \mathrm{R}^3 [/mm] mit der reellen Matrix:

[mm] M=\pmat{4&\frac{1}{2}&-2\\-2&4&0\\-1&\frac{1}{2}&3} [/mm]

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von [mm] \psi. [/mm]
b) Bestimmen Sie Basen der Eigenräume von [mm] \psi. [/mm]
c) Bestimmen Sie, ob [mm] \psi [/mm] eine Darstellungsmatrix D in Diagonalgestalt und/oder obere Dreiecksgestalt besitzt, und geben Sie ggf. eine reguläre Matrix U mit [mm] U^{-1}MU=D. [/mm]

Hallo,

also laut WA habe ich meine Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] = 5 und [mm] \lambda_2,\lambda_3=3 [/mm] korrekt mithilfe des charakteristischen Polynoms bestimmt.
Die Eigenvektoren laut WA sind
[mm] \pmat{-1\\2\\1} [/mm] sowie [mm] \pmat{1\\2\\1}. [/mm]

Diese habe ich auch errechnet.

Also ist mit
[mm] E_M(3)=\{ t \cdot \pmat{-1\\2\\1} \vert t \in \mathbb{R} \} [/mm]
bzw.
[mm] E_M(5)=\{ t \cdot \pmat{1\\2\\1}\vert t \in \mathbb{R} \} [/mm]
auch Aufgabe b) abgeschlossen.

Nun meine eigentliche Frage:

Normalerweise habe ich jetzt die Eigenwerte auf eine Diagonalmatrix geschrieben, also
[mm] A=\pmat{3&0&0\\0&3&0\\0&0&5} [/mm]

Entsprechend die Eigenvektoren als Spalten eine Matrix geschrieben
[mm] U=\pmat{-1&-1&1\\2&2&2\\1&1&1} [/mm]
damit [mm] U^{-1} [/mm] berechnet und anschließend über [mm] U^{-1}\cdot [/mm] M [mm] \cdot [/mm] U= D die Diagonalmatrix ausgerechnet.

Soweit so gut, funktioniert hier aber nicht, da die Matrix U nicht aus linear unabhängigen Vektoren besteht. Bei WA kommt für diese Matrix
[mm] U=\pmat{1&0&-1\\2&2&2\\1&0&1} [/mm]
raus. Von unterschiedlicher Sortierung abgesehen ist aber der zweite Eigenvektor zu [mm] \lambda_2 [/mm] bzw. [mm] \lambda_3 [/mm] eben [mm] \pmat{0\\2\\0}. [/mm] Darauf komme ich aber beim besten Willen nicht.

Darüberhinaus ist die Matrix A resp. spätere Diagonalmatrix bei WA wie folgt aufgeschrieben:
[mm] A=\pmat{3&1&0\\0&3&0\\0&0&5}. [/mm]

Gehe ich hier richtig in der Annahme, dass es hier einfache Jordanblöcke sind und daher die 1 kommt?

Wäre super wenn mir jemand einen Tipp bzgl. der Vektoren geben könnte.
Bei Bedarf tippe ich gerne die Matrix für [mm] \lambda_{2/3} [/mm] ab. Aber vielleicht mache ich es mir auch unnötig schwer und könnte direkt über die algebraische und geometrische Vielfachheit und Jordanform argumentieren, dass
[mm] A=\pmat{3&1&0\\0&3&0\\0&0&5} [/mm]
bereits die Diagonalmatrix ist?

Viele Grüße und vielen Dank

Obligatorisch gilt natürlich:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Diagonalmatrix aus Eigenvektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Di 01.11.2016
Autor: Jule2

Hi!
Wenn du richtig gerechnet hast was ich nicht nachgeprüft habe, dann gibt es meines Erachtens nach keine Diagonalmatrix, da die geometrischen und algebraischen Vielflachheiten des doppelten Eigenwertes [mm] \lambda_2,\lambda_3=3 [/mm] nicht übereinstimmen!

LG

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]