Dichte, Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Di 18.01.2005 | | Autor: | dagmar |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wir haben mal wieder eine Aufgabe bekommen, die ich leider nicht lösen kann.
Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
[mm] \alpha [/mm] > 0 sei eine reelle Zahl, und [mm] f_\alpha:\IR \to \IR [/mm] mit
[mm] f_\alpha [/mm] (t) := [mm] \alpha^2 [/mm] t [mm] e^-^\alpha^t, [/mm] falls t [mm] \ge [/mm] 0
0, falls t < 0
(a) Nun ist zu zeigen, dass [mm] f_\alpha [/mm] eine Dichte ist.
(b) Gib die dazugehörige Verteilungsfunktion [mm] F_\alpha [/mm] an,
sowie [mm] P_\alpha [/mm] ([-1,+1]).
[mm] P_\alpha [/mm] sei das zu [mm] F_\alpha [/mm] gehörige Wahrscheinlichkeitsmaß
(auf Bor [mm] (\IR)).
[/mm]
Meine Tips: Verteilungsfunktion haben wir wie folgt definiert:
Eine Verteilungsfunktion ( auf [mm] \IR) [/mm] ist eine Funktion F: [mm] \IR \to [/mm] [0,1] mit
(i) x [mm] \le [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] F(x) [mm] \le [/mm] F(y)
(ii) [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] F(x) = 0, [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] F(x) = 1
(iii) F ist rechtsseitig stetig
Dichte haben wir wie folgt definiert:
f: [mm] \IR \to [/mm] {y [mm] \in \IR: [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0} heißt Dichte, falls f stetig (bis auf Ausnahme von endlich vielen Stellen) ist und das uneigentliche Integral [mm] \integral [/mm] f(t)dt existiert,
mit [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(t)dt = 1
Kann mir da vielleicht einer helfen?
Danke, Dagmar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 19.01.2005 | | Autor: | david4501 |
Du hast doch fast alles, was du brauchst. Jetzt musst du nur noch
"nachrechnen":
Dichte f [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] {f(x) dx} = 1, sollte
mit Partieller Integration zu lösen sein (ohne, daß ich es selbst mal
ausprobiert hätte!)
Zur VF: F(x) = [mm] \integral_{-\infty}^{x} [/mm] {f(y) dy} und das sollte man dann
auch ähnlich wie oben ausrechnen können ...
Dann noch P((a,b]) = F(b) - F(a).
Viel Spaß beim Rechnen!
Gruß
David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Do 20.01.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe Dagmar!
Zur Dichte:
Es geht in der Tat mir partieller Integration:
[mm] $\alpha^2 \int\limits_0^{\infty} te^{-\alpha t}\, [/mm] dt = [mm] -\alpha \left[ t e^{-\alpha t} \right]_0^{\infty} [/mm] + [mm] \alpha \int\limits_0^{\infty} e^{-\alpha t}\, [/mm] dt = 0 - [mm] \left[ e^{-\alpha t} \right]_0^{\infty} [/mm] = 0 - 0 +1 = 1$.
Die Verteilungsfunktion kannst du dann ähnlich berechnen, wie in der Mitteilung angegeben.
Melde dich bitte wieder, wenn du noch Fragen zu dieser Aufgabe hast. 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 23.01.2005 | | Autor: | dagmar |
Hallo David, Hallo Julius!
Wollte mich nur kurz noch für die Hilfe bei meiner Aufgabe bedanken!
Liebe Grüße, Dagmar
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