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Hallo,
ich soll bei folgender dichtefunktion zeigen, dass sie an der stelle [mm] x=\mu [/mm] eine extremstelle hat:
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi*phi}} e^{-1/2(\bruch{x-\mu}{phi}})²
[/mm]
Wie muss ich diese funktion ableiten?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
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> ich soll bei folgender dichtefunktion zeigen, dass sie an
> der stelle [mm]x=\mu[/mm] eine extremstelle hat:
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> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi*phi}} e^{-1/2(\bruch{x-\mu}{phi}})²[/mm]
>
> Wie muss ich diese funktion ableiten?
>
> Danke
Mit der doppelten Kettenregel, also:
f(x)=[mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi\cdot\phi}}e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\bruch{x-\mu}{\phi}\right)^{2}}}[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi\cdot\phi}}\cdot\left[\left(e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\bruch{x-\mu}{\phi}\right)^{2}}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\left(\bruch{x-\mu}{\phi}\right)\right)\cdot\frac{1}{\phi}\right] [/mm]
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Vielen Dank für die Antwort. Fällt dann bei der 2. Ableitung irgendetwas weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich fürchte nein, da man für f''(x) auch noch die Produktregel braucht. Was man tun kann, ist [mm] e^{\ldots} [/mm] ausklammern, das klappt bei dieser Art von Funktionen meistens.
Marius
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als erstes muss ich ja die Nullstellen bestimmen. Hierzu setze ich die Funktionsgleichung = 0. Kann ich das [mm] e^{-0,5} [/mm] dann auch schon ausklammern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> als erstes muss ich ja die Nullstellen bestimmen. Hierzu
> setze ich die Funktionsgleichung = 0. Kann ich das [mm]e^{-0,5}[/mm]
> dann auch schon ausklammern?
Deine Funktion f hat keine Nullstellen, denn sie ist von der Form
[mm] ae^{blabla blubber}
[/mm]
mit a [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] e^{blabla blubber}>0
[/mm]
FRED
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Danke.
Kann ich dann hinschreiben, dass e^ ... niemals null werden darf?
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wenn ich die extremstellen berechnen möchte, habe ich :
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi*phi}}*( e^{-0,5}(\bruch{x-\mu}{phi}²*(-0,5*2(bruch{x-\mu}{phi})*\bruch{1}{phi}
[/mm]
= [mm] e^{-0,5}(\bruch{x-\mu}{phi}*(-0,5*2(bruch{x-\mu}{phi})²*\bruch{1}{phi}
[/mm]
= [mm] \bruch{x²-\mu²}{phi}*\bruch{x-\mu}{phi}*\bruch{1}{phi}
[/mm]
Wie komme ich denn am ende darauf, dass die esxtremstelle [mm] \mu [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Do 22.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi\cdot\phi}}\cdot\left[\left(e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\bruch{x-\mu}{\phi}\right)^{2}}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\left(\bruch{x-\mu}{\phi}\right)\right)\cdot\frac{1}{\phi}\right] [/mm]
Das ganze ist ein Produkt, und ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Setze hier also die einzelnen Faktoren Null, also:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi\cdot\phi}}=0 [/mm]
[mm] e^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\bruch{x-\mu}{\phi}\right)^{2}}}=0 [/mm]
[mm] -\frac{1}{2}\cdot2\cdot\left(\bruch{x-\mu}{\phi}\right)=0 [/mm]
[mm] \frac{1}{\phi}=0 [/mm]
Welcher dieser Faktoren kann denn überhaupt Null werden? Bedenke, dass die Variable hier x ist.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke.
>
> Kann ich dann hinschreiben, dass e^ ... niemals null werden
> darf?
Was heißt "darf" ? Es ist (!) [mm] e^x>0 [/mm] für jedes x [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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> Hallo,
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> ich soll bei folgender dichtefunktion zeigen, dass sie an
> der stelle [mm]x=\mu[/mm] eine extremstelle hat:
>
> = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2\pi*phi}} e^{-1/2(\bruch{x-\mu}{phi}})²[/mm]
>
> Wie muss ich diese funktion ableiten?
>
> Danke
Hallo,
die Funktion, so wie man sie oben lesen kann, hat an
der Stelle [mm] x=\mu [/mm] keine Extremstelle !
Der Grund:
Etwas vom Wichtigsten in der Formel, nämlich der
Quadratexponent bei der Klammer [mm] (\bruch{x-\mu}{phi}) [/mm] ,
ist verloren gegangen.
Latex akzeptiert solche Tastaturexponenten von DOSenComputern
nicht !
Irgendwie ist das immer wieder ärgerlich - aber man muss
einfach wissen, wie man Exponenten für LaTeX eingeben muss:
mit dem Dächlein wie für den accent circonflexe im Französischen
(oder ist der auf der Tastatur im Gegensatz zu dem lästigen
Exponenten nicht zu finden ?)
LG Al-Chw.
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