Dichtetransformation < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:07 Di 06.03.2012 | | Autor: | Krypto |
| Aufgabe | | Seien Y und Y unabhängig und [mm] Exp(\beta)-verteilt. [/mm] Zu zeigen sei nun, dass [mm] P(\bruch{X}{X+Y} \in [/mm] [a,b]) = b - a für 0 [mm] \le [/mm] a < b [mm] \le [/mm] 1 gilt. |
Hallo,
als Hinweis war noch gegeben, dass man mittels Dichtetransformation die gemeinsame Verteilung von X+Y und [mm] \bruch{X}{X+Y} [/mm] bestimmen soll.
Also, das habe ich mal versucht:
g: (u,v) [mm] \mapsto [/mm] (u+v, [mm] \bruch{u}{u+v})
[/mm]
[mm] g^{-1}: [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (xy,x(1-y))
J(x,y) = [mm] \pmat{ y & x \\ 1-y & -x }
[/mm]
det(J(x,y)) = [mm] \vmat{ y & x \\ 1-y & -x } [/mm] = -x
[mm] f(g^{-1}(x,y))*|det(J(x,y)| [/mm] = f(xy,x(1-y))*x = [mm] x*\beta^2*e^{-\beta*(xy-x(1-y))} [/mm] = [mm] x*\beta^2*e^{-\beta x} [/mm] = [mm] f_{u+v,\bruch{u}{u+v}}(x,y)
[/mm]
Stimmt das so oder bin ich total auf dem Holzweg? Wie würde es denn dann weitergehen?
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Di 06.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin Krypto,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Stimmt das so oder bin ich total auf dem Holzweg?
Sieht gut aus.
> Wie würde es denn dann weitergehen?
Wende den Transformationssatz fuer Dichten an.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Krypto |
Das verstehe ich leider nicht, ich dachte, so etwas in der Art hätte ich schon getan...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mi 07.03.2012 | | Autor: | luis52 |
> ich dachte, so etwas in der Art hätte ich schon getan...
"In der Art" schon. Was aber ist beispielsweise $ [mm] f_{u+v,\bruch{u}{u+v}}(-4711,-4711) [/mm] $?
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Krypto |
Hallo,
also, ich habe da noch mal drüber nachgedacht. Ich verstehe die erste Antwort zwar immer noch nicht, aber ich komme zu folgendem:
Meine errechnete Dichte hängt ja nicht von y ab, also wäre die Dichte von [mm] \bruch{X}{X+Y} [/mm] dann einfach 1?
Dann bekäme ich
[mm] P(\bruch{X}{X+Y} \in [/mm] [a,b]) = [mm] \integral_{a}^{b}{1 dx} [/mm] = b - a
Ist es das dann schon?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Do 08.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Und ich verstehe deine Antwort nicht. Was ist denn nun $ [mm] f_{u+v,\bruch{u}{u+v}}(-4711,-4711) [/mm] $?
Du solltest das Ganze mal sauber aufschreiben: Gegeben ist die gemeinsame Dichte von $(X,Y)_$, naemlich
[mm] $f_{x,y}(x,y)=\beta^2\exp[-\beta(x+y)]\red{\chi_{(0,\infty)}(x)\chi_{(0,\infty)}(y)}$.
[/mm]
Darin bezeichnet [mm] $\chi_M$ [/mm] die Indikatorfunktion der Menge $M_$, also [mm] $\chi_M(x)=1$ [/mm] fuer [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $\chi_M(x)=0$ [/mm] fuer [mm] $x\not\in [/mm] M$.
Wende jetzt den Transformationssatz unter Beruecksichtigung der Indikatorfunktionen an.
Die Schreibweise mit der Indikatorfunktion ermoeglicht in der Regel, dass man spaeter genau sagen kann, wo $ [mm] f_{u+v,\bruch{u}{u+v}}(r,s)>0$ [/mm] gilt, was also der Traeger des transformierten Vektors ist. Wenn du also korrekt arbeitest, wirst du $ [mm] f_{u+v,\bruch{u}{u+v}}(-4711,-4711) [/mm] =0$ bestaetigen.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 08.03.2012 | | Autor: | Krypto |
Hallo,
dann habe ich mir das wohl zu einfach gemacht. Ich dachte, wenn U+V und [mm] \bruch{U}{U+V} [/mm] unabhängig sind, dann würde gelten
[mm] f_{U+V,\bruch{U}{U+V}}(x,y) [/mm] = [mm] f_{U+V}(x)*f_{\bruch{U}{U+V}}(y)
[/mm]
und so bin ich zu meinem Ergebnis gekommen. Stimmt das also nicht? Warum denn nicht?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 08.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Warum sollten $U+V_$ und $ [mm] \bruch{U}{U+V} [/mm] $ unabhaengig sein? In beiden Zufallsvariablen stecken dieselben "Zutaten".
vg Luis
|
|
|
|
