Differentialgleichungen 2.Ord < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Di 23.08.2005 | | Autor: | el_dany |
Wie löst man eine Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem Euler-Prinzip?
Ich gehe einfach mal nach folgendem Schema vor:
z.B.: x'' + 3 x' - 4x=0, also homogen
nach euler müsste ichdoch so vorgehen:
x:= e^(a*t)
damit ergäbe sich:
e^(a*t) [mm] a^2 [/mm] + 3 e^(a*t) a - 4 e^(a*t) =0
dann e^(a*t) ausklammern
und das käme raus:
[mm] a^2 [/mm] + 3a - 4= 0
und diese quadrat. Gleichung lösen.
da bekomme ich dann
x=1 bzw. x=-4
was sagt mir das dann, wie mache ich dann weiter?
wie löse ich das dann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo el_dany,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wie löst man eine Differentialgleichung 2. Ordnung nach dem
> Euler-Prinzip?
> Ich gehe einfach mal nach folgendem Schema vor:
>
> z.B.: x'' + 3 x' - 4x=0, also homogen
> nach euler müsste ichdoch so vorgehen:
> x:= e^(a*t)
> damit ergäbe sich:
>
> e^(a*t) [mm]a^2[/mm] + 3 e^(a*t) a - 4 e^(a*t) =0
> dann e^(a*t) ausklammern
> und das käme raus:
> [mm]a^2[/mm] + 3a - 4= 0
> und diese quadrat. Gleichung lösen.
> da bekomme ich dann
> x=1 bzw. x=-4
>
> was sagt mir das dann, wie mache ich dann weiter?
das sagt Dir, daß [mm]e^t [/mm] und [mm]e^{ - 4\;t}[/mm] die DGL erfüllen.
Die Lösung dieser DGL ergibt sich dann aus Linearkombinationen dieser beiden Funktionen:
[mm]x\left( t \right)\; = \;c_1 \;e^{t} \; + \;c_2 \;e^{ - 4\;t} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 23.08.2005 | | Autor: | el_dany |
und wie komme ich auf die beiden c's?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Di 23.08.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo dany
[mm] x(t)=c1*e^{t}+c2*e^{-4t} [/mm] ist die allgemeine Lösung deiner Dgl.d.h. dieses x(t) löst die Dgl. bei jeder beliebigen Wahl von c1 und c2.
bei konkreten Problemen hat man dann noch Anfangsbedingungen.Meist ist x(0) und x'(0) gegeben. angenommen x(0)=0 und x'(0)=1
also 0=c1+c2 und 1=c1-4*c2 daraus c1=1/5; c2=-1/5 , entsprechend für andere Anfangsbedingungen.
Klar?
Gruss leduart
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