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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:50 Do 15.06.2023 | | Autor: | toivel |
| Aufgabe | Seien k [mm] \in \IZ [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] und m [mm] \in \IR_{>0} [/mm] .
Gelte
f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)=m.
Bestimmen Sie f(k). |
Die homogene Differenzengleichung habe ich gelöst.
Wie bestimme ich die partikuläre/spezielle Lösung?
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> Seien k [mm]\in \IZ[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm] und m [mm]\in \IR_{>0}[/mm] .
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> Gelte
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> f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)=m.
>
> Bestimmen Sie f(k).
>
Wäre schön, wenn du dein Ergebnis mal mitteilen würdest.
Setze k=0. Dann gilt für alle [mm] n\in\IN: [/mm]
f(0)-f(1)-f(n-1)+f(n)=m [mm] \Rightarrow
[/mm]
f(n)-f(n-1)=m-(f(1)-f(0))=s, s konstant
[mm] \Rightarrow [/mm] f(n)=f(n-1)+s.
Das heißt: [mm] a_n=f(n) [/mm] ist eine arithmetische Folge:
[mm] f(n)=a_n=A+n*s
[/mm]
Setze A und s geschickt ein und überlege, ob für negative k weitere Überlegungen nötig sind und ob m>0 wichtig ist.
Ich übersehe vielleicht etwas, aber bekomme heraus, dass es eine solche Fkt. nicht geben kann. Bist du sicher, dass die Aufgabenstellung so richtig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Sa 17.06.2023 | | Autor: | fred97 |
> Seien k [mm]\in \IZ[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm] und m [mm]\in \IR_{>0}[/mm] .
>
> Gelte
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> f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)=m.
Merkwürdig. Ich gehe davon aus, daß m eine positive Konstante ist und obige Gleichung für alle ganzzahligen k und alle natürlichen n gelten soll.
Mit n=1 erhalten wir dann aber m=0.
Also: wie lautet die Aufgabenstellung korrekt und komplett?
Gruß Fred
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> Bestimmen Sie f(k).
>
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> Die homogene Differenzengleichung habe ich gelöst.
>
> Wie bestimme ich die partikuläre/spezielle Lösung?
>
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> Seien k [mm]\in \IZ[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm] und m [mm]\in \IR_{>0}[/mm] .
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> Gelte
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> f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)=m.
>
> Bestimmen Sie f(k).
>
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> Die homogene Differenzengleichung habe ich gelöst.
>
> Wie bestimme ich die partikuläre/spezielle Lösung?
>
Hallo,
da konstante und lineare Funktionen die homogene Gleichung lösen, findet du (im Fall n>1) eine spezielle Lösung mit dem Ansatz [mm] $f(k)=ak^2$.
[/mm]
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Dann wäre f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)= [mm] a(k)^2-a(k+1)^2-a(k+n-1)^2+a(k+n)^2=a(k^2-k^2-2k-1-k^2-n^2-1-2kn+2k+2n+k^2+2kn+n^2)
[/mm]
= a(2n-2)
Das ist aber keine konstante Zahl [mm] m\in \IN.
[/mm]
Wenn m grundsätzlich variabel und nur aus [mm] \IN [/mm] sein soll, wäre das ok. (Die Aussage ist sowieso für n=1 falsch, dann wäre m=0, aber wir korrigieren mal den Text auf m>1.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Sa 17.06.2023 | | Autor: | donquijote |
> Dann wäre f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)=
> [mm]a(k)^2-a(k+1)^2-a(k+n-1)^2+a(k+n)^2=a(k^2-k^2-2k-1-k^2-n^2-1-2kn+2k+2n+k^2+2kn+n^2)[/mm]
> = a(2n-2)
>
> Das ist aber keine konstante Zahl [mm]m\in \IN.[/mm]
Wenn nach einer Lösung f(k) für eine Differenzengleichung gefragt ist, interpretiere ich das mal so, dass die übrigen Größen n und m als (gegebene) Konstanten zu betrachten sind.
>
> Wenn m grundsätzlich variabel und nur aus [mm]\IN[/mm] sein soll,
> wäre das ok. (Die Aussage ist sowieso für n=1 falsch,
> dann wäre m=0, aber wir korrigieren mal den Text auf m>1.)
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> Wenn nach einer Lösung f(k) für eine Differenzengleichung
> gefragt ist, interpretiere ich das mal so, dass die
> übrigen Größen n und m als (gegebene) Konstanten zu
> betrachten sind.
Na schön. Insofern ist die Aufgabenstellung unklar. In meinen Augen war n eine beliebige Verschiebung, und es sollte immer das selbe m herauskommen. Bei dir ist n fest und m=m(n). Welche Version richtig ist, ist nicht zu erkennen, aber bei deiner gibt es zumindest eine Lösung.
Wie so oft: Der Aufgabensteller merkt nicht, dass seine Aufgabe missverständlich ist.
Wieso es bei meiner Interpretation keine Lösung gibt, lässt sich leicht durch ein Beispiel nach dem Schema (a-b)+(b-c)=a-c zeigen:
k=1, n=5: f(1)-f(2)-f(5)+f(6) = m
k=5, n=5: f(5)-f(6)-f(9)+f(10) = m
Addition: f(1)-f(2)-f(9)+f(10) = 2m
k=1,n=9: f(1)-f(2)-f(9)+f(10)= m
Somit 2m = m, also m = 0 statt m > 0.
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Wegen
f(k) = [mm] ak^2 [/mm] und
f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)= [mm] a(k)^2-a(k+1)^2-a(k+n-1)^2+a(k+n)^2=a(k^2-k^2-2k-1-k^2-n^2-1-2kn+2k+2n+k^2+2kn+n^2) [/mm] = a(2n-2)=m
bekommst du für jedes n ein anderes m heraus (m wäre also nicht vorgegeben) oder bei Vorgabe von m ein anderes a und damit eine andere Funktion heraus.
Auch nicht eine besonders einleuchtende Lösung.
Erwartet man nur f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)>0 und betrachtet
[mm] f(k)-f(k+1)-f(k+n-1)+f(k+n)=\bruch{f(k+n)-f(k+n-1)}{1}-\bruch{f(k)-f(k+1)}{-1}=\bruch{f(k+n)-f(k+n-1)}{(k+n)-(k+n-1)}-\bruch{f(k)-f(k+1)}{(k)-(k+1)},
[/mm]
so wird hier vom Graphen der Funktion die die Differenz einer Sekantensteigung weiter "rechts" mit einer weiter "links" verglichen, wobei die rechte größer sein soll. Das ist allerdings für alle Funktionen wie [mm] x^2,x^4, x^6 [/mm] usw. und viele andere der Fall, so sie eine Rechtskrümmung haben.
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